Tóm tắt tài liệu
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, bao gồm các dạng bài: viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm rõ được bản chất cũng như phương pháp giải của chủ đề này.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm thuộc đồ thị
Bài toán 1
Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C) và điểm M0(x0;y0) ∈ C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x0;y0).
Phương pháp giải
+ Tiếp tuyến tại một điểm M0(x0;y0) ∈ C có hệ số góc là f'(x0)
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0;y0) có dạng: y – y0 = f′(x0)(x– x0). hay y– f(x0) = f′(x0)(x– x0).
Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị y = f(x) có đồ thị C và điểm M0(x0;y0) ∈ C . Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) ∈ C
Ta có: y’= 3x²– 12x + 9
Với: x = 2 y = 2 y′(2) = −3. Phương trình tiếp tuyến tại đồ thị (C) A(2; 2) là
y =– 3(x– 2) + 2 hay y =– 3x + 8.
Ta có: y′ = 3– 3x²
.y” =– 6x.
y” = 0 ⇔ x = 0.
Suy ra toạ độ điểm uốn là (0;2)
y′(0) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:y = 3(x– 0) + 2 hay y = 3x + 2.
Bài toán 2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = x0 (hoặc y = y0 ).
Phương pháp giải:
+ Với x= x0 ⇒ y= f(x0)
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm có hoành độ x= x0 có dạng:
y = f′(x0)(x– x0) + y0
Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = y0.
Ví dụ 3: Cho hàm số y= x³ + 3x² – 1có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ -1
Hoành độ tiếp điểm là x= -1 nên tung độ tiếp điểm là y =1
y′ = 3x² + 6x ⇒ y′(– 1) =– 3.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là:
y =– 3(x + 1) + 1 hay y =– 3x– 2.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước.
Phương pháp giải
Cách 1:
Phương pháp tìm tiếp điểm:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với tại điểm (C) có hoành độ xi ⇒ f′(xi) = k ⇒ x = xi là nghiệm của phương trình f′(x) = k.
+ Giải phương trình f′(x) = k. , suy ra nghiệm x = {x0, x1,…xn} , n ∈ Z+.
+ Phương trình tiếp tuyến tại xi là: xi y = k(x– xi) + f(xi).
Cách 2
Phương pháp điều kiện kép:
Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y = kx + m( m là ẩn) tiếp xúc với đồ thị (C) y = f(x) : Khi đó ta có phương trình kx + m = f(x) có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được m . Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Nhận xét: Vì điều kiện (C1) : y = f(x) (C2) : y = g(x) và tiếp xúc nhau là hệ điều kiện f(x) = g(x) và f′(x) = g′(x) có nghiệm kép chứ không phải điều kiện f(x) = g(x) phương trình có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số y= f(x) mà phương trình tương giao có thể biến đổi tương đương về một phương trình bậc 2 (khi đó điều kiện để có nghiệm kép là Δm = 0 ).
Chú ý
Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k như sau:
+ Dạng trực tiếp.
+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α khi đó hệ số góc k = tanα
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b , khi đó hệ số góc k = a
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b , khi đó ka =– 1 ⇒ k =– 1/a
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b một góc α , khi đó: I (k-a)/(1+ka)I= tanα
Ví dụ 5
Cho hàm số y = x³– 3x² có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3.
Ta có:y′ = 3x²– 6x.
Do hệ số góc k = -3 của tiếp tuyến là nên: 3x² – 6x = -3 ⇔ x = 1.
Với Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: x = 1 ⇒ y = −2. y = −3(x– 1)– 2 ⇔ y = −3x + 1.
Ta có: y′ = 3x²– 6x.
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 ⇔ 3x²– 6x = 9⇔ x = −1 hoặc x = 3
+ Với x = −1 ⇒ y = −3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = −1 là y = 9(x + 1)– 3 ⇔ y = 9x + 6.
+ Với x = 3 ⇒ y = 1. .Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x= 3 là: y = 9(x– 3) + 1 ⇔ y = 9x– 26
Vậy(C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 2009 là y = 9x + 6 và y = 9x– 26.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x³ – 3x +2 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y =(-1/9)x
Ta có:y’ = 3x² – 3
Do tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y =(-1/9)x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9 ⇔ 3x²– 3 = 9 ⇔ x = ±2.
+ Với x = 2 ⇒ y = 4. Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là y = 9(x– 2) + 4 ⇔ y = 9x– 14
+ Với x = −2 ⇒ y = 0. Phương trình tiếp tuyến tại x = −2 là y = 9(x + 2) + 0 ⇔ y = 9x + 18.
Vậy(C) có hai tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =(-1/9)x là: y = 9x-14 và y = 9x +18
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán 4
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm cho trước A(xA; yA). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
Phương pháp giải:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
+ Đường thẳng d đi qua điểm A( xA; yA) có phương trình: d : y = k(x– xA) + yA.
+ d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
f(x) = k(x– xA) + yA
f′(x) = k
⇔ f(x) = f′(x)(x– xA) + yA và f′(x) = k ⇒ k.
+ Kết luận về tiếp tuyến d
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
Ví dụ 8: Cho hàm số y = (1/3)x³ – 2x² : Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)
Ta có: y’= x² – 2x
Gọi đường thẳng qua A(3;0)có hệ số góc k → Phương trình có dạng: y = k.(x– 3) + 0.
Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: x³– x² = k(x– 3) và k = x²– 2x có nghiệm.
Thay (2) vào (1) ta có: (1/3)x³ – x² = (x²– 2x)(x-3) ⇔ x = 0 và x = 3.
+ Với x =0 ⇒ k=0 Phương trình tiếp tuyến: y= 0
+ Với x =3 ⇒ k=3 Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x– 3) = 3x– 9.
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là: y=0 và y= 3x-9.
Tổng hợp chi tiết các bài tập viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm
Trên đây là các dạng bài về viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm, các phương pháp giải cặn kẽ, chi tiết, dễ hiểu sẽ giúp các em nắm vững chủ đề này. Đây là một chủ đề không quá khó, do đó, việc làm bài tập sẽ giúp các em tích lũy được rất nhiều kiến thức cũng như kĩ năng phản xạ. Chúc các em học tốt.
