• Toán học
    • Toán 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12
TÀI LIỆU RẺ
TÀI LIỆU RẺ

0909090

  • Toán học
    • Toán 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12
Trang chủ
Toán học
Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình đối xứng loại 1 và bài tập ứng dụng

20/01/2019 Phan Trang Phương trình và hệ phương trình 0 comments
Hệ phương trình đối xứng loại 1 và bài tập ứng dụng

Tóm tắt tài liệu

  • Lý thuyết cần nắm
    • Định nghĩa
    • Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:
    • Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:
  • Ví dục minh họa
    • Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
    • Ví dụ 5. Tìm m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:
    • Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1.
    • Ví dụ 9. Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:
  • Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 1 đầy đủ, rõ ràng, dễ hiểu. Sau phần lý thuyết sẽ là những ví dụ về các dạng bài cơ bản liên quan đến hệ đối xứng loại 1, giúp các em có thể nắm rõ phương pháp làm bài cho loại bài tập này.

TẢI XUỐNG PDF ↓

Lý thuyết cần nắm

Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng

f(x; y) = a
g(x; y) = b

(I) trong đó f(x; y), g(x; y) là các biểu thức đối xứng, tức là f(x; y) = f(y; x), g(x; y) = g(y; x).

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:

+ Đặt S = x + y, P = xy.
+ Biểu diễn f(x; y), g(x; y) qua S và P, ta có hệ phương trình:

F(S; P) = 0
G(S; P) = 0

, giải hệ phương trình này ta tìm được^ S, P.

+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X^2– SX + P = 0 (1).

Xem thêm bài viết: Hệ phương trình đối xứng loại 2

Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:

x^2 + y^2 = ( x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P

x^3 + y^3 = (x+y)( x^2 + y^2 – xy) = S^3 – 3SP

x^2y + y^2x = xy(x+y) = SP

x^4 + y^4 = ( x^2 + y^2) – 2x^2y^2 = ( S^2 – 2P) – 2P^2

Chú ý:
+ Nếu (x; y) là nghiệm của hệ (I) thì (y; x) cũng là nghiệm của hệ (I).
+ Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S^2– 4P ≥ 0.

Ví dục minh họa

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.x + y + 2xy = 2
x^3 + y^3 = 8

2. x^3 + y^3 = 19
(x + y)(8 + xy) = 2

1. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
S + 2P = 2
S(S^2– 3P) = 8
⇔ P =(2 – S)/2
S[S^2–( 6 – 3S)/2 = 8

⇒ 2S^3 + 3S^2– 6S– 16 = 0 ⇔ (S– 2)( 2S^2 + 7S + 8) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0.

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X^2– 2X = 0 ⇔
X = 0
X = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
x = 0
y = 2
hoặc
x = 2
y = 0

2. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
S(S^2– 3P) = 19
S(8 + P) = 2
⇔
SP = – 8S
S^3– 3(2– 8S) = 19
⇔
SP = 2– 8S
S^3 + 24S– 25 = 0
⇔
S = 1
P = – 6

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X^2– X– 6 = 0 ⇔
X = 3
X = – 2
Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm: (x; y) = ( − 2; 3), (3; − 2).

Ví dụ 5. Tìm m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:

1.x + y = m
x^2 + y^2 = 2m + 1

2.x +1/x+ y +1/y= 5

x^3 +1/x^3 + y^3 +1y^3 = 15m– 10

1. Đặt S = x + y, P = xy, ta có:
S = m
S^2– 2P = 2m + 1 ⇔
S = m
P =1/2(m^2– 2m– 1)

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: S^2– 4P ≥ 0 ⇔ m^2– 2( m^2– 2m– 1) = – m^2 + 4m + 2 ≥ 0 ⇔ 2– √6 ≤ m ≤ 2 + √6.

2. Đặt a = x +1/x, b = y +1/y
⇒ |a| ≥ 2; |b| ≥ 2.
Hệ phương trình đã cho trở thành:
a + b = 5
a^3 + b^3– 3(a + b) = 15m– 10 ⇔

a + b = 5
ab = 8– m

Suy ra a, b là nghiệm của phương trình: X^2– 5X + 8– m = 0 ⇔ X^2– 5X + 8 = m (1).
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa: |X| ≥ 2.
Xét tam thức f(X) = X^2– 5X + 8 với |X| ≥ 2, ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (1) có hai nghiệm thỏa |X| ≥ 2 khi và chỉ khi
m ≥ 22 hoặc 7/4≤ m ≤ 2.

Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x^3 + y^3

Xét hệ phương trình:
x + y = 1
x^3 + y^3 = A
⇔
S = 1
S(S^2– 3P) = A
⇔
S = 1
P =(1 –A)/3

Ta có: x, y tồn tại ⇔ hệ có nghiệm ⇔ S^2– 4P ≥ 0 ⇔ 1– (13-A)/3≥ 0 ⇔ A ≥1/4
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là min A =1/4 ⇔ x = y =1/2

Ví dụ 9. Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =1/x^3 +1/y^3
.Xét hệ phương trình:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy

1/x^3 +1/y^3 = A

Đặt a =1/x, b =1/y
(a, b ≠ 0), hệ phương trình trên trở thành:
a + b = a^2 + b^2– ab

a^3 + b^3 = A

Đặt S = a + b, P = ab, ta có:
S = S^2– 3P
S(S^2– 3P) = A
⇔
S^2 = A
3P = S^2– S

Từ a + b = a^2 + b^2– ab > 0, suy ra S > 0.

Hệ phương trình này có nghiệm ⇔ S^2 ≥ 4P ⇔ 3S^2 ≥ 4(S^2– S)⇔ S ≤ 4 ⇔ A = S^2 ≤ 16.

Đẳng thức xảy ra ⇔S = 4
P =(S^2 – S)/3= 4
⇔ a = b = 2 ⇔ x = y =1/2
Vậy giá trị lớn nhất của A là max A = 16 ⇔ x = y =1/2.

Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

hệ phương trình đối xứng loại 1 he phuong trinh doi xung loai 1 va bai tap ung dung 2 he phuong trinh doi xung loai 1 va bai tap ung dung 3

 

Vậy là chúng ta đã tìm hiểu về lý thuyết cũng như các ví dụ cơ bản của hệ phương trình đối xứng loại 1. Nắm chắc được phương pháp giải, tư duy, các em có thể vận dụng để làm những bài tập nâng cao của hệ phương trình đối xứng loại 1. Chúc các em học tốt!

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc 2

Previous article Xét tính đúng sai của mệnh đề và bài tập ứng dụng
Next article Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phan Trang

Phan Trang

Bài Viết Liên Quan
Hệ phương trình đối xứng loại 2 và bài tập ứng dụng có giải

Hệ phương trình đối xứng loại 2 và bài tập ứng dụng có giải

22/01/2019
Cách giải phương trình bậc 2 và bài tập có lời giải

Cách giải phương trình bậc 2 và bài tập có lời giải

14/12/2018
50 câu trắc nghiệm hệ phương trình có lời giải chi tiết

50 câu trắc nghiệm hệ phương trình có lời giải chi tiết

06/12/2018
Chuyên Đề
  • Toán học
    • Toán 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12

Tài Liệu Rẻ - Kho Tài Liệu Luyện Thi Đại Học Lớp 10 Miễn Phí

  • DMCA.com Protection Status

CƠ QUAN CHỦ QUẢN

Công Ty TNHH Giải Pháp TMĐT Đại Nguyễn

MST: 0314376934

Địa chỉ : 1446-1448, Đường 3/2, Phường 2, Quận 11, Thành phố Hồ Chí Minh.

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Tấn Tài

VỀ TÀI LIỆU RẺ

Giới thiệu

Điều khoản chung

Chính sách bảo mật

Tuyển dụng

DÀNH CHO ĐỐI TÁC

Hotline : 0933.052.363

Email : info.dainguyengroup@gmail.com

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Đường dây nóng : 0933.052.363

Email tòa soạn : info.dainguyengroup@gmail.com

Phiên bản @copy; 2019. Bản quyền nội dung thuộc về Tài Liệu Rẻ