• Toán học
    • Toán 10
      • Hàm số lớp 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
    • Động học chất điểm
    • Động lực học chất điểm
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12
  • Toán đại số
    • Khảo sát hàm số
    • Phương trình và hệ phương trình
    • ĐẠO HÀM
    • Hàm số bậc 3
    • Cực trị hàm số
    • Bất đẳng thức và bất phương trình
    • Dãy số – Cấp số cộng – cấp số nhân
    • Mệnh đề tập hợp
    • Giới hạn
    • Tổ hợp xác suất
  • Hình học
    • Cung và góc lượng giác – công thức lượng giác
    • Véc tơ
    • Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
    • Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
    • Hình học không gian
    • Tọa độ trong mặt phẳng
  • Bài học toán có video
  • Tiếng anh
TÀI LIỆU RẺ
TÀI LIỆU RẺ

056 3753648

  • Toán học
    • Toán 10
      • Hàm số lớp 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
    • Động học chất điểm
    • Động lực học chất điểm
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12
  • Toán đại số
    • Khảo sát hàm số
    • Phương trình và hệ phương trình
    • ĐẠO HÀM
    • Hàm số bậc 3
    • Cực trị hàm số
    • Bất đẳng thức và bất phương trình
    • Dãy số – Cấp số cộng – cấp số nhân
    • Mệnh đề tập hợp
    • Giới hạn
    • Tổ hợp xác suất
  • Hình học
    • Cung và góc lượng giác – công thức lượng giác
    • Véc tơ
    • Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
    • Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
    • Hình học không gian
    • Tọa độ trong mặt phẳng
  • Bài học toán có video
  • Tiếng anh

Trang chủ » Toán học » Phương trình và hệ phương trình » Hệ phương trình đối xứng loại 1 và bài tập ứng dụng

Hệ phương trình đối xứng loại 1 và bài tập ứng dụng

20/01/2019 Phan Trang Phương trình và hệ phương trình, Toán lớp 9, Định nghĩa 0 comments
Hệ phương trình đối xứng loại 1 và bài tập ứng dụng

Tóm tắt tài liệu

  • Lý thuyết cần nắm
    • Định nghĩa
    • Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:
    • Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:
  • Ví dục minh họa
    • Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
    • Ví dụ 5. Tìm m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:
    • Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1.
    • Ví dụ 9. Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:
  • Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1
  • Xem thêm video
      • video trên Thầy Linh dạy toán
      • video trên Trung tâm giáo dục Tam Nguyên

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 1 đầy đủ, rõ ràng, dễ hiểu. Sau phần lý thuyết sẽ là những ví dụ về các dạng bài cơ bản liên quan đến hệ đối xứng loại 1, giúp các em có thể nắm rõ phương pháp làm bài cho loại bài tập này.

TẢI XUỐNG PDF ↓

Lý thuyết cần nắm

Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng

f(x; y) = a
g(x; y) = b

(I) trong đó f(x; y), g(x; y) là các biểu thức đối xứng, tức là f(x; y) = f(y; x), g(x; y) = g(y; x).

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:

+ Đặt S = x + y, P = xy.
+ Biểu diễn f(x; y), g(x; y) qua S và P, ta có hệ phương trình:

F(S; P) = 0
G(S; P) = 0

, giải hệ phương trình này ta tìm được^ S, P.

+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X^2– SX + P = 0 (1).

Xem thêm bài viết: Hệ phương trình đối xứng loại 2

Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:

x^2 + y^2 = ( x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P

x^3 + y^3 = (x+y)( x^2 + y^2 – xy) = S^3 – 3SP

x^2y + y^2x = xy(x+y) = SP

x^4 + y^4 = ( x^2 + y^2) – 2x^2y^2 = ( S^2 – 2P) – 2P^2

Chú ý:
+ Nếu (x; y) là nghiệm của hệ (I) thì (y; x) cũng là nghiệm của hệ (I).
+ Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S^2– 4P ≥ 0.

Ví dục minh họa

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.x + y + 2xy = 2
x^3 + y^3 = 8

2. x^3 + y^3 = 19
(x + y)(8 + xy) = 2

1. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
S + 2P = 2
S(S^2– 3P) = 8
⇔ P =(2 – S)/2
S[S^2–( 6 – 3S)/2 = 8

⇒ 2S^3 + 3S^2– 6S– 16 = 0 ⇔ (S– 2)( 2S^2 + 7S + 8) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0.

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X^2– 2X = 0 ⇔
X = 0
X = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
x = 0
y = 2
hoặc
x = 2
y = 0

2. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
S(S^2– 3P) = 19
S(8 + P) = 2
⇔
SP = – 8S
S^3– 3(2– 8S) = 19
⇔
SP = 2– 8S
S^3 + 24S– 25 = 0
⇔
S = 1
P = – 6

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X^2– X– 6 = 0 ⇔
X = 3
X = – 2
Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm: (x; y) = ( − 2; 3), (3; − 2).

Ví dụ 5. Tìm m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:

1.x + y = m
x^2 + y^2 = 2m + 1

2.x +1/x+ y +1/y= 5

x^3 +1/x^3 + y^3 +1y^3 = 15m– 10

1. Đặt S = x + y, P = xy, ta có:
S = m
S^2– 2P = 2m + 1 ⇔
S = m
P =1/2(m^2– 2m– 1)

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: S^2– 4P ≥ 0 ⇔ m^2– 2( m^2– 2m– 1) = – m^2 + 4m + 2 ≥ 0 ⇔ 2– √6 ≤ m ≤ 2 + √6.

2. Đặt a = x +1/x, b = y +1/y
⇒ |a| ≥ 2; |b| ≥ 2.
Hệ phương trình đã cho trở thành:
a + b = 5
a^3 + b^3– 3(a + b) = 15m– 10 ⇔

a + b = 5
ab = 8– m

Suy ra a, b là nghiệm của phương trình: X^2– 5X + 8– m = 0 ⇔ X^2– 5X + 8 = m (1).
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa: |X| ≥ 2.
Xét tam thức f(X) = X^2– 5X + 8 với |X| ≥ 2, ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (1) có hai nghiệm thỏa |X| ≥ 2 khi và chỉ khi
m ≥ 22 hoặc 7/4≤ m ≤ 2.

Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x^3 + y^3

Xét hệ phương trình:
x + y = 1
x^3 + y^3 = A
⇔
S = 1
S(S^2– 3P) = A
⇔
S = 1
P =(1 –A)/3

Ta có: x, y tồn tại ⇔ hệ có nghiệm ⇔ S^2– 4P ≥ 0 ⇔ 1– (13-A)/3≥ 0 ⇔ A ≥1/4
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là min A =1/4 ⇔ x = y =1/2

Ví dụ 9. Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =1/x^3 +1/y^3
.Xét hệ phương trình:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy

1/x^3 +1/y^3 = A

Đặt a =1/x, b =1/y
(a, b ≠ 0), hệ phương trình trên trở thành:
a + b = a^2 + b^2– ab

a^3 + b^3 = A

Đặt S = a + b, P = ab, ta có:
S = S^2– 3P
S(S^2– 3P) = A
⇔
S^2 = A
3P = S^2– S

Từ a + b = a^2 + b^2– ab > 0, suy ra S > 0.

Hệ phương trình này có nghiệm ⇔ S^2 ≥ 4P ⇔ 3S^2 ≥ 4(S^2– S)⇔ S ≤ 4 ⇔ A = S^2 ≤ 16.

Đẳng thức xảy ra ⇔S = 4
P =(S^2 – S)/3= 4
⇔ a = b = 2 ⇔ x = y =1/2
Vậy giá trị lớn nhất của A là max A = 16 ⇔ x = y =1/2.

Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

hệ phương trình đối xứng loại 1 he phuong trinh doi xung loai 1 va bai tap ung dung 2 he phuong trinh doi xung loai 1 va bai tap ung dung 3

 

Vậy là chúng ta đã tìm hiểu về lý thuyết cũng như các ví dụ cơ bản của hệ phương trình đối xứng loại 1. Nắm chắc được phương pháp giải, tư duy, các em có thể vận dụng để làm những bài tập nâng cao của hệ phương trình đối xứng loại 1. Chúc các em học tốt!

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc 2

Xem thêm video

video trên Thầy Linh dạy toán

video trên Trung tâm giáo dục Tam Nguyên

Previous article Xét tính đúng sai của mệnh đề và bài tập ứng dụng
Next article Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phan Trang

Phan Trang

Bài Viết Liên Quan
Lý thuyết và phương pháp giải bài tập hàm số bậc hai lớp 10

Lý thuyết và phương pháp giải bài tập hàm số bậc hai lớp 10

12/05/2019
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

16/04/2019
Lý thuyết toán 12 - Tổng hợp chi tiết và đầy đủ nhất

Lý thuyết toán 12 - Tổng hợp chi tiết và đầy đủ nhất

26/01/2019
Chuyên Đề
  • Toán học
    • Toán 10
      • Hàm số lớp 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
    • Động học chất điểm
    • Động lực học chất điểm
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12
  • Toán đại số
    • Khảo sát hàm số
    • Phương trình và hệ phương trình
    • ĐẠO HÀM
    • Hàm số bậc 3
    • Cực trị hàm số
    • Bất đẳng thức và bất phương trình
    • Dãy số – Cấp số cộng – cấp số nhân
    • Mệnh đề tập hợp
    • Giới hạn
    • Tổ hợp xác suất
  • Hình học
    • Cung và góc lượng giác – công thức lượng giác
    • Véc tơ
    • Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
    • Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
    • Hình học không gian
    • Tọa độ trong mặt phẳng
  • Bài học toán có video
  • Tiếng anh

Tài Liệu Rẻ - Kho Tài Liệu Luyện Thi Đại Học Lớp 10 Miễn Phí

  • DMCA.com Protection Status

CƠ QUAN CHỦ QUẢN

Công Ty TNHH Giải Pháp TMĐT Đại Nguyễn

MST: 0314376934

Địa chỉ : 1446-1448, Đường 3/2, Phường 2, Quận 11, Thành phố Hồ Chí Minh.

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Tấn Tài

VỀ TÀI LIỆU RẺ

Giới thiệu

Điều khoản chung

Chính sách bảo mật

Tuyển dụng

DÀNH CHO ĐỐI TÁC

Hotline : 0933.052.363

Email : info.dainguyengroup@gmail.com

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Đường dây nóng : 0933.052.363

Email tòa soạn : info.dainguyengroup@gmail.com

Phiên bản @copy; 2019. Bản quyền nội dung thuộc về Tài Liệu Rẻ

  • diva spa 056.3753648
  • chat fb thẩm mỹ diva Chat FB