Hệ phương trình đối xứng loại 1 và bài tập ứng dụng

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 1 đầy đủ, rõ ràng, dễ hiểu. Sau phần lý thuyết sẽ là những ví dụ về các dạng bài cơ bản liên quan đến hệ đối xứng loại 1, giúp các em có thể nắm rõ phương pháp làm bài cho loại bài tập này.

TẢI XUỐNG PDF ↓

Lý thuyết cần nắm

Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng

f(x; y) = a
g(x; y) = b

(I) trong đó f(x; y), g(x; y) là các biểu thức đối xứng, tức là f(x; y) = f(y; x), g(x; y) = g(y; x).

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:

+ Đặt S = x + y, P = xy.
+ Biểu diễn f(x; y), g(x; y) qua S và P, ta có hệ phương trình:

F(S; P) = 0
G(S; P) = 0

, giải hệ phương trình này ta tìm được^ S, P.

+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X^2– SX + P = 0 (1).

Xem thêm bài viết: Hệ phương trình đối xứng loại 2

Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:

x^2 + y^2 = ( x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P

x^3 + y^3 = (x+y)( x^2 + y^2 – xy) = S^3 – 3SP

x^2y + y^2x = xy(x+y) = SP

x^4 + y^4 = ( x^2 + y^2) – 2x^2y^2 = ( S^2 – 2P) – 2P^2

Chú ý:
+ Nếu (x; y) là nghiệm của hệ (I) thì (y; x) cũng là nghiệm của hệ (I).
+ Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S^2– 4P ≥ 0.

Ví dục minh họa

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.x + y + 2xy = 2
x^3 + y^3 = 8

2. x^3 + y^3 = 19
(x + y)(8 + xy) = 2

1. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
S + 2P = 2
S(S^2– 3P) = 8
⇔ P =(2 – S)/2
S[S^2–( 6 – 3S)/2 = 8

⇒ 2S^3 + 3S^2– 6S– 16 = 0 ⇔ (S– 2)( 2S^2 + 7S + 8) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0.

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X^2– 2X = 0 ⇔
X = 0
X = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
x = 0
y = 2
hoặc
x = 2
y = 0

2. Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
S(S^2– 3P) = 19
S(8 + P) = 2
⇔
SP = – 8S
S^3– 3(2– 8S) = 19
⇔
SP = 2– 8S
S^3 + 24S– 25 = 0
⇔
S = 1
P = – 6

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X^2– X– 6 = 0 ⇔
X = 3
X = – 2
Vậy hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm: (x; y) = ( − 2; 3), (3; − 2).

Ví dụ 5. Tìm m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:

1.x + y = m
x^2 + y^2 = 2m + 1

2.x +1/x+ y +1/y= 5

x^3 +1/x^3 + y^3 +1y^3 = 15m– 10

1. Đặt S = x + y, P = xy, ta có:
S = m
S^2– 2P = 2m + 1 ⇔
S = m
P =1/2(m^2– 2m– 1)

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: S^2– 4P ≥ 0 ⇔ m^2– 2( m^2– 2m– 1) = – m^2 + 4m + 2 ≥ 0 ⇔ 2– √6 ≤ m ≤ 2 + √6.

2. Đặt a = x +1/x, b = y +1/y
⇒ |a| ≥ 2; |b| ≥ 2.
Hệ phương trình đã cho trở thành:
a + b = 5
a^3 + b^3– 3(a + b) = 15m– 10 ⇔

a + b = 5
ab = 8– m

Suy ra a, b là nghiệm của phương trình: X^2– 5X + 8– m = 0 ⇔ X^2– 5X + 8 = m (1).
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa: |X| ≥ 2.
Xét tam thức f(X) = X^2– 5X + 8 với |X| ≥ 2, ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (1) có hai nghiệm thỏa |X| ≥ 2 khi và chỉ khi
m ≥ 22 hoặc 7/4≤ m ≤ 2.

Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x^3 + y^3

Xét hệ phương trình:
x + y = 1
x^3 + y^3 = A
⇔
S = 1
S(S^2– 3P) = A
⇔
S = 1
P =(1 –A)/3

Ta có: x, y tồn tại ⇔ hệ có nghiệm ⇔ S^2– 4P ≥ 0 ⇔ 1– (13-A)/3≥ 0 ⇔ A ≥1/4
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là min A =1/4 ⇔ x = y =1/2

Ví dụ 9. Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =1/x^3 +1/y^3
.Xét hệ phương trình:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy

1/x^3 +1/y^3 = A

Đặt a =1/x, b =1/y
(a, b ≠ 0), hệ phương trình trên trở thành:
a + b = a^2 + b^2– ab

a^3 + b^3 = A

Đặt S = a + b, P = ab, ta có:
S = S^2– 3P
S(S^2– 3P) = A
⇔
S^2 = A
3P = S^2– S

Từ a + b = a^2 + b^2– ab > 0, suy ra S > 0.

Hệ phương trình này có nghiệm ⇔ S^2 ≥ 4P ⇔ 3S^2 ≥ 4(S^2– S)⇔ S ≤ 4 ⇔ A = S^2 ≤ 16.

Đẳng thức xảy ra ⇔S = 4
P =(S^2 – S)/3= 4
⇔ a = b = 2 ⇔ x = y =1/2
Vậy giá trị lớn nhất của A là max A = 16 ⇔ x = y =1/2.

Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

Vậy là chúng ta đã tìm hiểu về lý thuyết cũng như các ví dụ cơ bản của hệ phương trình đối xứng loại 1. Nắm chắc được phương pháp giải, tư duy, các em có thể vận dụng để làm những bài tập nâng cao của hệ phương trình đối xứng loại 1. Chúc các em học tốt!

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc 2