Bất đẳng thức vecto và ứng dụng vào bài tập

Tài liệu gồm 8 trang về chuyên đề bất đẳng thức vecto và ứng dụng vào các dạng bài tập như: Bất phương trình, phương trình, hệ phương trình và đặc biệt là bất đẳng thức. Bất đẳng thức vecto là một trong những bất đẳng thức hình học quan trọng nhất. Hãy tìm hiểu kĩ hơn qua tài liệu dưới đây cùng tailieure nhé!

TẢI XUỐNG PDF ↓

Xem thêm: Bất đẳng thức lớp 10 – Phân loại bài tập và cách giải

Lý thuyết bất đẳng thức vecto

Trong phần này sẽ trình bày chi tiết một số điểm lý thuyết liên quan đến:

• Độ dài vecto
• Các phép toán biểu thị qua tọa độ vecto
• Nội dung bất đẳng thức vecto

Ứng dụng

Bất đẳng thức hình học này thường được sử dụng trong một số bài toán như:

• Ứng dụng để giải hệ phương trình, bất phương trình và phương trình
• Ứng dụng chứng minh một số bất đẳng thức khác có chứa hàm số lượng giác

Bài tập tự luyện

Sau những bài tập chứng minh bất đẳng thức có lời giải. Ở phần tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu hàng loạt những bài tập đề nghị tự luyện. Nếu có thắc mắc gì về đáp án cũng như lời giải, các bạn hoàn toàn có thể để lại lời nhắn bên dưới bài viết này nhé.

I.LÝ THUYẾT.

1. Độ dài véctơ.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, véctơ $\vec{x} = (x_1; y_1)$ có độ dài là

$|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ $\vec{x} = (x_1; y_1; z_1)$ có độ dài

2. Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , hai véctơ $\vec{u} = (x_1; y_1); \vec{v} = (x_2; y_2)$

Khi đó ta có

$\begin{aligned} \vec{u} + \vec{v} &= (x_1 + x_2; y_1 + y_2) \\ \vec{u} – \vec{v} &= (x_1 – x_2; y_1 – y_2) \\ k\vec{u} &= (kx_1; ky_1) \quad (k \in \mathbb{R}) \\ \vec{u} \cdot \vec{v} &= |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cos(\vec{u}, \vec{v}) \\ \vec{u} \cdot \vec{v} &= x_1 x_2 + y_1 y_2 \end{aligned}$

Chú ý : Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tương tự như trong mặt phẳng .

3. Bất đẳng thức véctơ.

Cho hai véctơ $\vec{a}, \vec{b}$ (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có

$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| \quad (1)$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}^*_+ : \vec{a} = k\vec{b}$ hoặc một trong hai véctơ bằng $\vec{0}$ .

Tổng quát : $\left| \sum_{i=1}^n \vec{a}_i \right| \le \sum_{i=1}^n |\vec{a}_i| \quad (n \in \mathbb{Z}^*_+)$

$|\vec{a} – \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| \quad (2)$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}^*_- : \vec{a} = k\vec{b}$ hoặc một trong hai véctơ bằng $\vec{0}$ .

$-|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \le \vec{u} \cdot \vec{v} \le |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \quad (3)$

Dấu “=” thứ nhất xảy ra $\Leftrightarrow \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}^*_- : \vec{a} = k\vec{b}$ hoặc một trong hai véctơ bằng $\vec{0}$ . Dấu “=” thứ hai xảy ra $\Leftrightarrow \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}^*_+ : \vec{a} = k\vec{b}$ hoặc một trong hai véctơ bằng $\vec{0}$ .

II. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VÉCTƠ

1. Ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

1.1.Phương pháp :

Ta biến đổi phương trình đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để đưa ra nghiệm của phương trình đã cho.

1.2 Ví dụ :

Ví dụ 1 : Giải phương trình sau

$x\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x} – 2\sqrt{x^2+1} = 0 \quad (1.1)$

Giải

ĐK : $-1 \le x \le 3$

Khi đó ta có $(1.1) \Leftrightarrow x\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x} = 2\sqrt{x^2+1}$

xét hai véctơ $\vec{u} = (x; 1); \vec{v} = (\sqrt{x+1}; \sqrt{3-x})$

Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = x\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}; \quad |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| = 2\sqrt{x^2+1}$

Mà theo BĐT (3) ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} \le |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \Leftrightarrow x\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x} \le 2\sqrt{x^2+1}$

Vì cả hai véctơ đều khác $\vec{0}$ véctơ nên dấu “=” xảy ra

$\Leftrightarrow \vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{3-x}} \ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2(3-x) = x+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ \begin{bmatrix} x = 1 \\ x = 1 – \sqrt{2} \\ x = 1 + \sqrt{2} \end{bmatrix} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{2} \end{bmatrix}$

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt $x = 1;\ 1+\sqrt{2}$

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau

$\sqrt{x^2 – 2x + 5} + \sqrt{x^2 + 2x + 10} = \sqrt{29} \quad (1.2)$

Giải

Phương trình đã cho xác định với mọi x.

Ta có $(1.2) \Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2 + 4} + \sqrt{(x+1)^2 + 9} = \sqrt{29}$

xét hai véctơ $\vec{u} = (x-1; 2); \vec{v} = (-x-1; 3)$

Khi đó $\vec{u} + \vec{v} = (-2; 5); |\vec{u}| = \sqrt{x^2 – 2x + 5}; |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + 2x + 10}; |\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{29}$

Mà theo BĐT (1) ta có $|\vec{u} + \vec{v}| \le |\vec{u}| + |\vec{v}| \Leftrightarrow \sqrt{x^2 – 2x + 5} + \sqrt{x^2 + 2x + 10} \le \sqrt{29}$

Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ $\vec{0}$ nên dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v} \Leftrightarrow \frac{x-1}{-x-1} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}$

Ta thấy $x = \frac{1}{5}$ thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình (1.2) có một nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{5}$ .

Ví dụ 3 : Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm

$\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = m \quad (1.3)$

Giải

ĐK : $2 \le x \le 4$

Xét hai véctơ $\vec{u} = (\sqrt{x-2}; \sqrt{4-x}); \vec{v} = (1; 1)$

Ta có $|\vec{u}| = \sqrt{2}; |\vec{v}| = \sqrt{2}; \vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$

Mà theo BĐT (3) ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} \le |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \Leftrightarrow \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} \le 2$ từ đây và phương trình đã cho ta suy ra phương trình (1.3) có nghiệm $\Leftrightarrow 0 < x \le 2$

Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 3 \end{cases} \quad (1.4)$

Giải

Ta xét hai véctơ $\vec{u} = (x; y; z); \vec{v} = (1; 1; 1)$

Khi đó ta có $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{3}; \quad |\vec{v}| = \sqrt{3}; \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = x + y + z = 3$

Từ trên ta thấy $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \Leftrightarrow \vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} > 0 \Leftrightarrow x = y = z > 0$

Kết hợp với hệ đã cho ta có nghiệm duy nhất của hệ (1.4) là $x = y = z = 1$

Ví dụ 5 : Giải bất phương trình sau

$\sqrt{x-1} + x – 3 \ge \sqrt{2(x-3)^2 + 2x – 2} \quad (1.5)$

Giải

ĐK : $x \ge 1$

Xét hai véctơ $\vec{u} = (x-3; \sqrt{x-1}); \vec{v} = (1; 1)$

Khi đó ta có $|\vec{u}| = \sqrt{(x-3)^2 + x – 1}; \quad |\vec{v}| = \sqrt{2}; \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{x-1} + x – 3$

Từ trên và bất phương trình (1.5) ta thấy $\vec{u} \cdot \vec{v} \ge |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \quad (*)$

Mà theo BĐT (3) ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} \le |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \quad (2*)$

Từ (*) và (2*) suy ra

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \Leftrightarrow \vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v} \Leftrightarrow x – 3 = \sqrt{x-1} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 – 7x + 10 = 0 \\ x \ge 3 \end{cases} \Leftrightarrow x = 5$

(Vì hai véc tơ ta xét đều khác véc tơ $\vec{0}$ ).

Vậy $x = 5$ là nghiệm duy nhất của bất phương trình (1.5).

Tải file pdf của tài liệu

Ngoài ứng dụng bất đẳng thức vecto vào phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức. Bất đẳng thức của vecto còn xuất hiện trong số phức, không gian. Đây được bình chọn là một trong những bất đẳng thức hình học quan trọng bậc nhất. Do đó, tài liệu trên là thực sự cần thiết nếu các em có nguyện vọng chuyên sâu hơn vào chuyên đề bất đẳng thức nhé!

Xem thêm: Bất đẳng thức cosi

Video học tập

Bất đẳng thức vector_Câu 8,6+ cực trị