Phương pháp giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số


Tính đơn điệu của hàm số là một chuyên đề không thể thiếu trong các đề thi toán lớp 12, đặc biệt trong các đề thi đại học. Bài viết này sẽ trình bày cho các em một số vấn đề sau:

  • Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số
  • Xét sự biến thiên của hàm số không chứa tham số (cơ bản)
  • Xét sự biến thiên của hàm số chứa tham số (nâng cao)

 Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số

  • Hàm số  đồng biến trên     và  tại một số hữu hạn điểm thuộc 
  • Hàm số  nghịch biến trên   và  tại một số hữu hạn điểm thuộc 

Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số không chứa tham số

*) Phương pháp giải: Để xét tính đơn điệu của hàm số  trên khoảng bất kì ta làm như sau:

  • Tìm TXĐ  của hàm số
  • Tìm ra biểu thức của 
  • Giải phương trình 
  • Lập bảng biến thiên và kết luận.

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: 

  • Tập xác định 

Dễ thấy dấu của hàm số  phụ thuộc vào biểu thức . Ta tính một số giới hạn cơ bản rồi vẽ bảng biến thiên

Bảng biến thiên

Bảng biến thiên khi xét tính đơn điệu của hàm số

Kết luận:

  • Hàm số đồng biến trên
  • Hàm số nghịch biến trên và 

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

  • Lập bảng biến thiên:

Kết luận:

  • Hàm số đã cho đồng biến trên: 
  • Hàm số đã cho nghịch biến trên: 

Lưu ý:

Khi xét dấu  trong các khoảng, để biết  mang dấu (+) hay (-), ta chỉ cần lấy một số bất kì thuộc khoảng đang xét, sau đó tính  tại điểm đó.

Dạng 2: Xét sự biến thiên của hàm số chứa tham số

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số:

  • Hàm số  đồng biến trên     và  tại một số hữu hạn điểm thuộc 
  • Hàm số  nghịch biến trên   và  tại một số hữu hạn điểm thuộc 

Kiến thức liên quan

+) Định lý về dấu của tham thức bậc hai: Cho hàm số bậc hai  với định thức 

  • Nếu  thì  luôn cùng dấu với 
  • Nếu  thì  luôn cùng dấu với  (ngoại trừ )
  • Nếu thì  có 2 nghiệm . Trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với , ngoài khoảng ngược dấu với .

+) Định lí Vi-et:

Cho  là nghiệm của phương trình , khi đó ta có:

+) Nguyên tắc so sánh nghiệm  với  được tổng hợp như sau:

+) Tìm khoảng điều kiện của m:

Ví dụ 1: Cho hàm số  với  là hằng số thực. Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .

Cách 1: Vì hàm số  liên tục tại điểm  và tại điểm  nên ta có  

( với )

Xét hàm số  trên đoạn 

  

Ta có:

tại .

Vậy  thì hàm số đồng biến trên khoảng .

Cách 2: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai

Ta có: , với 

hàm số đồng biến trên khoảng   (*)

TH1:   

Theo định lý về dấu tam thức bậc hai ta có  

TH2:      thì  đúng, khi đó  có hai nghiệm  sao cho  và .

Phương pháp giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số
5 (100%) 3 vote[s]