Cực trị hàm trùng phương - Tổng hợp công thức giải nhanh

Để tìm cực trị hàm trùng phương, đầu tiên ta cùng tìm hiểu dạng của hàm số này:

y=a.{{x}^{4}}+b.{{x}^{2}}+c

I. Cực trị hàm số trùng phương

- Trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix}ab\ge 0 \\{{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0 \\\end{matrix} \right. \Rightarrow Hàm số có một điểm cực trị duy nhất.

- Trường hợp 2: ab<0 \Rightarrow Hàm số có 3 điểm cực trị

- Khi hàm số có 3 điểm cực trị thì hoành độ 3 điểm cực trị là: 0;-\sqrt{\frac{-b}{2a}};\sqrt{\frac{-b}{2a}}

- Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị tương ứng: \left\{ \begin{matrix}A(0;c) \\B\left( -\sqrt{\frac{-b}{2a}};c-\frac{{{b}^{2}}}{4a} \right);C\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}};c-\frac{{{b}^{2}}}{4a} \right) \\\end{matrix} \right.

Nhận xét:

\Delta ABC, cân tại A, có A\in Oy, khi đó AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}-8ab}{16{{a}^{2}}}},BC=\sqrt{\frac{-b}{2a}}

- Các điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc các trục tọa độ \Leftrightarrow {{b}^{2}}=4ac

- Điểm (0;{{y}_{0}}) là trọng tâm \Delta ABC \Leftrightarrow  3{{y}_{0}}=3c-\frac{{{b}^{2}}}{2a}

-  Điểm (0;{{y}_{0}}) là trực tâm \Delta ABC \Leftrightarrow  {{y}_{0}}-c=-\frac{8a+{{b}^{3}}}{4ab}

- Điểm (0;{{y}_{0}}) là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC \Leftrightarrow  {{y}_{0}}-c=\frac{8a-{{b}^{3}}}{4ab}

Do đó Cos\widehat{BAC}=\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a},{{S}_{ABC}}=\sqrt{\frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}}

\Delta ABC, vuông tại A \Leftrightarrow Cos\widehat{BAC}=0\Leftrightarrow {{b}^{3}}=-8a

\Delta ABC đều \Leftrightarrow Cos\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{b}^{3}}=-24a

\Delta ABC có một góc {{120}^{0}}\Leftrightarrow Cos\widehat{BAC}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 3{{b}^{3}}=8a

II. Giao điểm với trục hoành

Với ab<0,ac>0,{{b}^{2}}-4ac>0, đồ thị hàm số trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó:

- Hoành độ 4 giao điểm lập thành cấp số cộng \Leftrightarrow 9{{b}^{2}}=100ac

- Cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau \Leftrightarrow 9{{b}^{2}}=100ac.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành có phần phía trên Ox và phần phía dưới Ox bằng nhau \Leftrightarrow  5{{b}^{2}}=100ac

III. Một số công thức tính nhanh của cực trị hàm số trung phương

- Đặt \widehat{BAC}=\alpha

- Tổng quát: {{\cot }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{-{{b}^{3}}}{8a}

cực trị hàm số trùng phương

- Bảng một số công thức tính nhanh cực trị hàm số trùng phương

Dữ kiện Các công thức thõa mãn ab<0
Cho tam giác ABC vuông cân tại A {{b}^{3}}=8a
Cho tam giác ABC đều {{b}^{3}}=24a
Cho tam giác ABC có diện tích {{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{0}} 32{{a}^{3}}{{({{S}_{0}})}^{2}}+b{}^{3}=0
Cho tam giác ABC có diện tích \max ({{S}_{0}}) {{S}_{0}}=\sqrt{-\frac{32{{b}^{5}}}{{{a}^{3}}}}
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp {{r}_{\Delta ABC}}={{r}_{0}} r=\frac{{{b}^{2}}}{4.\left| a \right|.\left( 1+\sqrt{1-\frac{{{b}^{3}}}{8a}} \right)}
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp {{R}_{\Delta ABC}}=R R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC={{m}_{0}} a.{{m}_{0}}^{2}+2b=0
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB=AC={{n}_{0}} 16{{a}^{2}}.{{n}_{0}}^{2}-{{b}^{4}}+8ab=0
Cho tam giác ABC có cực trị B,C\in Ox {{b}^{2}}=4ac
Cho tam giác ABC  có 3 góc nhọn b(8a+{{b}^{3}})>0
Cho tam giác ABC  có trọng tâm O {{b}^{2}}=6ac
Cho tam giác ABC  có trực tâm O {{b}^{3}}+8a-4ac=0
Cho tam giác ABC  có cùng điểm O tạo thành hình thoi {{b}^{2}}=2ac
Cho tam giác ABC  có O là tâm đường tròn nội tiếp {{b}^{3}}-8a-4abc=0
Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp {{b}^{3}}-8a-8abc=0
Cho tam giác ABC có BC=kAB=kAC {{b}^{3}}.{{k}^{2}}-8a({{k}^{2}}-4)=0
Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau {{b}^{2}}=4\sqrt{2}\left| ac \right|
Cho tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành {{b}^{2}}=8ac
Đồ thị hàm số (C):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng {{b}^{2}}=\frac{100}{9}ac
Định tham số để hình phẳng giới thiệu bởi đồ thị (C):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c và trục hoành có diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau {{b}^{2}}=\frac{36}{5}ac
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( \frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a}+c \right)y+c\left( \frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a} \right)=0

Bảng trên tổng hợp các công thức tính nhanh phần cực trị hàm số trùng phương. Chúng tôi vẫn khuyến khích các em học sinh tự thành lập công thức và áp dụng linh hoạt vào bài tập. Công thức bên trên chỉ để giải quyết những bài toán khó, với áp lực thời gian!

Chuyên mục: Cực trị hàm số

Từ khóa: cực trị hàm số hàm trùng phương, công thức tính nhanh hàm trùng phương, trùng phương.

Cực trị hàm trùng phương - Tổng hợp công thức giải nhanh
5 (100%) 3 votes