Câu 1: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un )

d = 3 . Tìm số hạng u10 . có u1  = -2 và công sai

2. u = -2.39 .              B. u   = 25 .                C. u   = 28 .                D. u   = -29 .

Ta có u10  = u1 + 9d = -2 + 9.3 = 25 .

Câu 2: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng (un ) u8  = 26. Tìm công sai d

có  Chọn A

3

 

 

1                    11

10                                11

Lời giải

u8  = u1 + 7d Û 26 =  + 7d Û d =    .

3                     3

1

Câu 3: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng (un )

u8  = 26. Tìm công sai d

có u1  =   ,

3

1. d = 11 . B. d = 10.                  C. d =

3  .                  D. d =  3 .

3

 

Chọn A

3

 

 

1                   11

10                                11

Lời giải

trắc nghiệm dãy số cấp số cộng cấp số nhân

u8  = u1 + 7d Û 26 =  + 7d Û d =    .

n

3                     3

n

n

Câu 4: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số (un )

với un  = 3 . Tính un+1 ?

n

1. un+1= 3

+ 3.

 B .  un+1  = 3.3 .

1. un+1 = 3

+1.

1. un+1= 3(n+1).

 

Chọn B

Ta có un+1

 

= 3n+1  = 3.3n.

Lời giải

Câu 5: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un ) : 2, a, 6, b.

bằng?

Tích  ab

 A.

32 .                           B. 40 .                         C. 12 .                         D. 22 .

Lời giải

Chọn A

ì2 + 6 = 2a Ta có í

îa + b = 2.6

ìa = 4

Û í

îb = 8

 

Þ ab = 32.

 

Câu 6: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số nhân?

 A.

Dãy số -2 , 2 , -2 , 2 , …, -2 , 2 , -2 , 2 , …

n

• Dãy số (un ) , xác định bởi công thức u = 3

+1 với n Î ¥* .

n

ìïu1  = 1

1. Dãysố (un ) , xác định bởi hệ:

í

ïîu

n  = un-1

+ 2 (n Î ¥* : n ³ 2) .

1. Dãy số các số tự nhiên 1, 2 , 3 , ….

 

Chọn A

Lời giải

Dãy số -2 , 2 , -2 , 2 , …, -2 , 2 , -2 , 2 , …. là cấp số nhân với số hạng đầu u1  = -2 , công bội

1

2

q = -1 .

Dãy  số   (un )

xác   định   bởi   công   thức

u  = 3n  +1   có

u1  = 3

+1 = 4 ,

u2  = 3

+1 = 10 ,

 

3

u  = 33

+1 = 28 . Nhận xét:

u3  ¹ u2   nên (u )

u

n

u2             1

ìïu1  = 1

n

không là cấp số nhân.

Dãy số  (un ) , xác định bởi hệ:

í

ïîu

n  = un-1

+ 2 (n Î ¥* : n ³ 2)

có  u1  = 1,

u1  = 3 ,

u3  = 5 . Nhận

xét:

u3  ¹ u2

nên (un )

không là cấp số nhân.

u2          u1

u3         u2

Dãy số các số tự nhiên 1, 2 , 3 , …. có u1  = 1, u1  = 2 , u3  = 3 . Nhận xét:

cấp số nhân.

¹       nên không là

u2          u1

Câu 7: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn  I = lim 2n +1

n +1

1. I = 1 . B. I = +¥ . C. I = 2 .                     D. I = 1.

2

 

Chọn C

 

Ta có I = lim 2n +1 = lim

n +1

2 + 1

n = 2 .

1+ 1

n

Lời giải

Câu 8: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng có u4  = 2 ,  u2  = 4 . Hỏi

u1   bằng bao nhiêu?

1. u1= 6 .                      B. u1  = 1.                C. u1  = 5 .                    D. u1  = -1 .

Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết ta có

ìu4  = 2 Û ìu1 + 3d = 2 Û ìu1  = 5 .

= 4

îu1

í

îu2

í    + d = 4

í

îd = -1

Câu 1: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un )

quát là un  = 3n – 2 . Tìm công sai d  của cấp số cộng.

có số hạng tổng

1. A. d = 3 . d = 2 . C. d = -2 .                  D. d = -3 .

Lời giải

Chọn A

Ta có un+1 – un  = 3(n +1) – 2 – 3n + 2 = 3

Suy ra d = 3 là công sai của cấp số cộng.

 

 

 

1     1            1

Câu 2: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tổng  S = +     + ××× +    + ××× có giá trị là:

3    32                     3n

1. 1 . B. 1 . C. 1 .                          D.  1 .

9

 

Chọn D

4                                  3                                  2

Lời giải

Ta có S = 1 + 1 + ××× + 1 + ××× là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u

) với u  = 1

có số hạng

 

3    32                     3n

1                       1

n                        n         3n

đầu u1  =   , công sai q =   .

3                       3

1

Do đó S =

u1

1- q

=    3

1- 1

3

= 1 .

2

Câu 3: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

1. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
2. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
3. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
4. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.

Lời giải

Chọn B

Một phản ví dụ: dãy số (un ) , với un  = n – 2 là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0 . Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0 ; 1… không phải là một dãy số dương.

Câu 4: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un ) có sai d = 4 . Hãy tính u99 .

u1  = 11 và công

1. 401 . B. 403 . C. 402 .                      D. 404 .

Lời giải

Chọn B

Ta có : u99  = u1 + 98d

= 11 + 98.4 = 403 .

Câu 5: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng ?

1. A. (un

) : ì

u1  = 1

.                           B. (un

) : ì

u1  = 3           .

í

îun+1  = un  + 2, “n ³ 1

îun+1  = 2un  +1, “n ³ 1

í

1. (un) : 1;3 ; 6 ; 10 ; 15 ;    .                           D. (un ) : -1; 1; -1; 1; -1;     .

Lời giải

Chọn A

 

Dãy số ở đáp án A thỏa un+1 – un  = 2 với mọi n ³ 1 nên là cấp số cộng.

Câu 6: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho tứ diện  ABCD , các điểm M ,  N  lần lượt là trung điểm của  AB , CD . Không thể kết luận G  là trọng tâm tứ diện  ABCD trong trường hợp

1. GM + GN = 0 .
2. GM = GN .
3. GA + GB + GC + GD = 0 .
4. 4PG = PA + PB + PC + PD với P là điểm bất kỳ.

Lời giải

Chọn B

Theo giả thiết ta có GM = GN

thì chưa thể kết luận ngay được G  là trung điểm MN .

GV GIẢI đã đề xuất sửa đáp án D của đề gốc, từ 4PG = PA + PB + PC + PC

4PG = PA + PB + PC + PD với P là điểm bất kỳ.

thành

Các phương án còn lại ta kết luận được ngay G  là trọng tâm của tứ diện  ABCD .

Câu 7: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Một cấp số nhân có số hạng đầu công bội q = 2 . Biết Sn  = 765 . Tìm n ?

1. n = 7 . B. n = 6 . C. n = 8 .                     D. n = 9 .

Hướng dẫn giải

u1  = 3 ,

Chọn C

u1 (1- q )

3.(1- 2 )

n                                  n

Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: Sn  =              =                = 765 Û n = 8 .

1- q

1- 2

Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA ^ ( ABCD). Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng

( ABCD)

bằng độ dài đoạn thẳng nào?

1. A. IO . IA . C. IC .                        D. IB .

Lời giải

Chọn A

Do I  là trung điểm của SC  và O là trung điểm  AC  nên IO//SA . Do SA ^ ( ABCD) nên

IO ^ ( ABCD), hay khoảng cách từ I  đến mặt phẳng ( ABCD)

bằng độ dài đoạn thẳng IO .

S

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

B

A

 

 

O

 

 

D                                                                                    C

 

 

Câu 2: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho

I = lim

4n2 + 5 + n

. Khi đó giá trị

 

của I  là

4n –

n2 +1

1. A. I = 1. I = 5 . C. I = -1.                   D. I = 3 .

 

 

Chọn A

 

 

Ta có I = lim

 

 

 

4n2 + 5 + n

3

 

 

 

 

= lim

 

4 +  5

n2

4

Lời giải

 

 

+1

= 1

4n –

n2 +1

4 –   1+ 1

n2

 

Câu 3: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

u1  = -3 ,

d = 4 . Chọn

1. u5= 15 .                    B. u4  = 8 .                    C. u3  = 5 .                    D. u2  = 2 .

Lời giải

Chọn C

Ta có u3  = u1 + 2d = -3 + 2.4 = 5 .

Câu 4: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Từ các chữ số 0 , 1,  2 , 3 ,  4 , 5 , 8 lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 .

1. A. 35 số. 52 số. C. 32 số.                    D. 48 số.

Lời giải

Chọn A

Số chia hết cho 2 và 3 là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 .

 

Gọi a1a2a3 là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 được lập từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 8 .

• Trường hợp 1: a3 = 0

Khi đó các chữ số a1 , a2  được lập từ các tập {1; 2}, {1;5} , {1;8} , {2; 4} , {4;5} , {4;8} . Trường hợp này có 6.2! = 12 số.

• Trường hợp 2: a3 = 2

Khi đó các chữ số a1 , a2  được lập từ các tập {1; 0}, {4; 0}, {1;3} , {3; 4} , {5;8}. Trường hợp này có 2 + 3.2! = 8 số.

• Trường hợp 3: a3 = 4

Khi đó các chữ số a1 , a2  được lập từ các tập {2; 0}, {2;3} , {3;5}, {3;8} . Trường hợp này có 1+ 3.2! = 7 số.

• Trường hợp 4: a3 = 8

Khi đó các chữ số a1 , a2  được lập từ các tập {0;1}, {0; 4}, {1;3} , {2;5} , {3; 4} . Trường hợp này có 2 + 3.2! = 8 số.

Vậy có tất cả 12 + 8 + 7 + 8 = 35 số cần tìm.

Câu 5: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân (un )

bội q = 3 . Số hạng u2   là

có u1  = -2

và công

1. A. u2= -6 .                   u2  = 6 .                   C. u2  = 1.                    D. u2  = -18 .

Lời giải

Chọn A

Số hạng u2   là u2  = u1.q = -6

Câu 6: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số (un )

Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

 

2n-1 +1

thỏa mãn un  =           .

n

 

1. 51, 2 . B. 51, 3 . C. 51,1.                      D. 102, 3 .

Lời giải

Chọn B

 

Ta có: u10  =

210-1 +1

 

10

 

= 51, 3 .

 

 

 

ìu = 4

Câu 7: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số

 

hạng thứ 5 của dãy số.

1

= u  + n

í

îun+1           n

. Tìm số

1. 16 . B. 12 . C. 15 .                         D. 14 .

Lời giải

Chọn D

Ta có u2  = u1 +1 = 5 ; u3  = u2  + 2 = 7 ; u4  = u3 + 3 = 10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là

u5  = u4  + 4 = 14 .

 

 

Câu 8: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tính

lim

x +1  .

x®+¥ x2018 -1

1. -1. B. 1. C. 2 .                          D. 0 .

Lời giải

Chọn D

 

 

lim

 

 

= lim

1 + 1

1   .   x    x2

 

 

= 0 .

x®+¥  x2018 -1

x®+¥ x2017

1-   1

x2017

 

2n4  – 2n + 2

Câu 9: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) lim

4n4 + 2n + 5

bằng

1. 2 . B. 1 .                          C. +¥ .                        D. 0 .

11

 

Chọn B

 

 

 

2n4  – 2n + 2

2

 

 

2 – 2 +  2

n3         n4

Lời giải

 

 

1

Ta có lim

4n4

= lim                   =    .

2     5

+ 2n + 5          4 +     +         2

n3        n4

n

n

Câu 10: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 – năm 2017 – 2018)  Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

1. un

= n2 .                     B. u

= 2n .                  C. un

Lời giải

= n3 -1 .             D. u

= 2n +1 .

n -1

Chọn D

“n Î ¥*  ta có: n2  < (n +1)2

nên A sai; 2n < 2(n +1) nên B sai; n3 -1 < (n +1)3 -1 nên C sai.

Với un

= 2n +1 thì u

n -1

n+1

• un

=     -3

(n -1).n

< 0 nên dãy un

= 2n +1 giảm.

n -1

Câu 11: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 – năm 2017 – 2018)  Cấp số cộng (un )

u1  = 3 , công sai d = -2 thì số hạng thứ 5 là

có số hạng đầu

1. u5= 8 .                      B. u5  = 1 .                    C. u5  = -5 .                 D. u5  = -7 .

Lời giải

Chọn C

Ta có: u5  = u1 + 4d = 3 + 4.(-2) = -5 .

Câu 12: (THPT Kim Liên – Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho dãy số (un )

 

 

là một cấp số cộng có

u1  = 3 và công sai d = 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số (un )

là Sn  = 253 . Tìm n .

11. 9 . B. 11. C. 12 .                         D. 10 .

Lời giải

Chọn B

n (2u1 + (n -1) d )

n (2.3 + (n -1).4)

Ta có Sn

=                            Û                            = 253 2                      2

én = 11

Û 4n2 + 2n – 506 = 0 Û ê

ên = –

ë

23 (L) .

2

Câu 1: (THPT Đặng Thúc Hứa   – Nghệ An – năm 2017-2018) Có bao nhiêu tập con gồm  3  phần tử

của tập hợp

X = {1; 2;3; 4; 7;8;9} ?

1. A3 .                          B. C3   .                        C. C3 .                        D.

A3 .

7

 

 

Chọn C

9                                                                     7                                                                     9

Lời giải

7

Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp Vậy có C3   tập hợp.

X = {1; 2;3; 4; 7;8;9} là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

 

Câu 2:

lim 3x + 2

x ®-¥ 2x – 4

bằng

1. – 1 . B. – 3 . C.1.                             D.  3 .

 

 

Câu 3:

2

lim 3x + 2

x ®-¥ 2x – 4

4                                                                    2

 

bằng

1. – 1 . B. – 3 . C.1.                             D.  3 .

2

 

Chọn D

4

 

 

2

3 + 2

2

Lời giải

Ta có:

lim 3x + 2 = lim

x  = 3  .

x®-¥ 2x – 4

x®-¥      4

2 –

x

n                         í     + u  = 26

Câu 4: Cho cấp số cộng (u  ) thỏa mãn ìu4 = 10

îu4       6

có công sai là

3. d = -3. B. d = 3 . C. d = 5 .                     D. d = 6 .

Câu 5: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

1. A. 1; 2; 3; 4; 5 . 1; 2; 4; 8; 16 . C. 1; -1; 1; -1; 1.      D. 1; – 2; 4; – 8; 16 .

ìu4 = 10

îu4       6

Câu 6: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn í  + u  = 26

có công sai là

3. d = -3. B. d = 3 . C. d = 5 .                    D. d = 6 .

Lời giải

Chọn B

Gọi d  là công sai.

4

ìu   = 10

Ta có:

ìu1 + 3d = 10

Û

ìu1 = 1

Û            .

í                        í                          í

îu4 + u6 = 26

Vậy công sai d = 3 .

î2u1 + 8d = 26

îd = 3

Câu 7: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

1. A. 1; 2; 3; 4; 5 . 1; 2; 4; 8; 16 . C. 1; -1; 1; -1; 1.      D. 1; – 2; 4; – 8; 16 .

Lời giải

Chọn A

Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q = 2 . Dãy 1; -1; 1; -1; 1 là cấp số nhân với công bội q = -1 .

Dãy 1; – 2; 4; – 8; 16 là cấp số nhân với công bội q = -2 . Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d = 1 .

Câu 8: Cho dãy số (un )

với un  = 2n -1. Dãy số (un ) là dãy số

A.Bị chặn trên bởi 1.                                        B. Giảm.

2. Bị chặn dưới bởi 2. D. Tăng.

Câu 9: Cho dãy số (un )

với un  = 2n -1. Dãy số (un ) là dãy số

 

A.Bị chặn trên bởi 1.                                        B. Giảm.

2. Bị chặn dưới bởi 2. D. Tăng.

Lời giải

Chọn D

“n Î ¥*   ta có: u

 

 

 

 

n+1

 

• un

= 2 (n +1) -1- (2n -1) = 2 > 0 nên u

 

 

 

 

n+1

 

> un

vậy dãy số (un

) tăng.

Câu 10: Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1  = 5 và công bội q = -2 . Số hạng thứ sáu của (un )

1. u6= 160 .                  B. u6  = -320 .             C. u6  = -160 .             D. u6  = 320 .

là:

Câu 11: Biết bốn số 5 ;  x ; 15 ; y  theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2 y bằng.

1. 50 . B. 70 . C. 30 .                         D. 80 .

Câu 12: Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1  = 5 và công bội q = -2 . Số hạng thứ sáu của (un )

1. u6= 160 .                  B. u6  = -320 .             C. u6  = -160 .             D. u6  = 320 .

Hướng dẫn giải

là:

Chọn C

 

Ta có u

= u q5  = 5.(-2)5  = -160 .

6            1

Câu 13: Biết bốn số 5 ;  x ; 15 ; y  theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2 y bằng.

1. 50 . B. 70 . C. 30 .                         D. 80 .

Hướng dẫn giải

Chọn B

 

Ta có:

x = 5 +15 = 10 Þ y = 20 . Vậy 3x + 2 y = 70 .

2

Câu 14: Số cách sắp xếp 6  học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là:

6. 6.A6.                        B. C6  .                        C.

A6  .                         D. 10P .

10                                                                 10                                                                  10                                                                         6

 

Câu 15: Số cách sắp xếp 6  học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là:

6. 6.A6.                        B. C6  .                        C.

A6  .                         D. 10P .

10

 

 

Chọn C

10                                                                  10                                                                         6

Lời giải

Số cách sắp xếp  6  học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là số chỉnh hợp chập  6  của 10

A  .

10

phần tử. Vậy số cách sắp xếp là:  6

 

Câu 16: Cho cấp số cộng (un ) có u1  = 4;u2  = 1 . Giá trị của u10   bằng

15. u10= 31 .                   B. u10  = -23 .              C. u10  = -20 .              D. u10  = 15.

Câu 17: Cho cấp số cộng (un ) có u1  = 4;u2  = 1 . Giá trị của u10   bằng

15. u10= 31 .                   B. u10  = -23 .              C. u10  = -20 .              D. u10  = 15.

Hướng dẫn giải

Chọn B

u1  = 4;u2  = 1 Þ

d = -3 . Vậy u10  = u1 + 9d = 4 + 9.(-3) = -23

Câu 18: Cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1  = 3 , công sai d = 5 , số hạng thứ tư là

1. u4= 23 .                    B. u4  = 18 .                  C. u4  = 8 .                   D. u4  = 14 .

Câu 19: Cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1  = 3 , công sai d = 5 , số hạng thứ tư là

1. u4= 23 .                    B. u4  = 18 .                  C. u4  = 8 .                   D. u4  = 14 .

Lời giải

Chọn B

u4  = u1  + 3d = 3 + 5.3 = 18 .

Câu 20: Khẳng định nào dưới đây sai?

1. Sốhạng tổng quát của cấp số nhân (un ) là un  = u1 .q

 

 

 

 

 

 

n-1

 

 

, với công bội q và số hạng đầu u1 .

1. Sốhạng tổng quát của cấp số cộng (un )

đầu u1 .

là un  = u1  + (n – 1) d , với công sai  d  và số hạng

1. Sốhạng tổng quát của cấp số cộng (un ) là un  = u1  + nd , với công sai d  và số hạng đầu u1 .

1. Nếudãy số (un ) là một cấp số cộng thì u

 

Câu 21: Khẳng định nào dưới đây sai?

n+1  =

un  + un+2

2

“n Î ¥* .

1. Sốhạng tổng quát của cấp số nhân (un ) là un  = u1 .q

n-1

, với công bội q và số hạng đầu u1 .

1. Sốhạng tổng quát của cấp số cộng (un )

đầu u1 .

là un  = u1  + (n – 1) d , với công sai  d  và số hạng

1. Sốhạng tổng quát của cấp số cộng (un ) là un  = u1  + nd , với công sai d  và số hạng đầu u1 .

1. Nếudãy số (un ) là một cấp số cộng thì u

 

 

n+1

= un  + un+2

2

“n Î ¥* .

 

Chọn C

Câu 22: Cho cấp số cộng (un )

Lời giải

 

 

có số hạng đầu u1  = 3 và công sai d = 2 . Tính u5 .

11. 11. B. 15 . C. 12 .                         D. 14 .

 

Câu 23: Cho hình chóp

• BCD có đáy  ABCD  là hình vuông.  SA  vuông góc với  ( ABCD)

và  H  là

hình chiếu vuông góc của  A lên SB . Khẳng định nào sau đây là sai?

1. AH ^ BC . AH ^ SC .              C. BD ^ SC .              D.  AC ^ SB .

Câu 24: Cho cấp số cộng (un )

có số hạng đầu u1  = 3 và công sai d = 2 . Tính u5 .

11. 11. B. 15 . C. 12 .                         D. 14 .

Lời giải

Chọn A

Ta có u5  = u1 + 4d

= 3 + 4.2 = 11 .

 

Câu 25: Cho hình chóp

• BCD có đáy  ABCD  là hình vuông.  SA  vuông góc với  ( ABCD)

và  H  là

hình chiếu vuông góc của  A lên SB . Khẳng định nào sau đây là sai?

1. AH ^ BC .  AH ^ SC .              C. BD ^ SC .              D.  AC ^ SB .

Lời giải

Chọn D

 

Đáp án A đúng do BC ^ ( SAB) nên AH ^ BC .

Đáp án B đúng do

AH ^ ( SBC ) nên AH ^ SC .

Đáp án C đúng do BD ^ ( SAC )

nên BD ^ SC .

Câu 26: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

n3 – 3n

 

n +1

1 – 2n3

1. 1- 4n . B.

n +1

.                  C.

.                      D.

n2

.

n3 + 5n

Câu 27: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

n3 – 3n

 

n +1

1 – 2n3

1. 1- 4n . B.

 

 

Chọn C

n +1

.                  C.

n2

Lời giải

.                      D.

.

n3 + 5n

Ta có lim n +1 = limæ 1 +

1 ö = 0 .

2                      ç         2  ÷

n            è n    n  ø

Câu 28: Cho dãy số (un )

sai?

là một cấp số nhân có số hạng đầu u1

và công bội  q . Đẳng thức nào sau đây

2

1. un+1= unq, (n ³ 1) .  B. un  = u1q

n-1

, (n ³ 2) .

n

1. un= u1q

, (n ³ 2) .     D. uk  = uk -1uk +1 , (k ³ 2) .

Câu 29: Cho dãy số (un )

sai?

là một cấp số nhân có số hạng đầu u1

và công bội  q . Đẳng thức nào sau đây

2

1. un+1= unq, (n ³ 1) .                                     B. un  = u1q

n-1

, (n ³ 2) .

n

1. C. un= u1q

, (n ³ 2) .                                        D. uk  = uk – uk +1 , (k ³ 2) .

 

 

Chọn C .

Cho dãy số (un )

1

Lời giải

 

là một cấp số nhân có số hạng đầu u1  và công bội q .

Từ định nghĩa của cấp số nhân ta có các kết quả sau:

un+1 = unq , (n ³ 1) ,

un  = u1q

n-1

, (n ³ 2) ,

2

uk  = uk -1uk +1 , (k ³ 2) .

Kết quả của đáp án C là sai.

Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

1. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
2. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
3. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.

 D.

Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.

Lời giải.

Chọn D

1. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q =
2. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 0 .
3. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: un+1- un  = d > 0

 

 

Þ un+1  > un .

1. Ví dụ dãy -5 ; -2 ; 1; 3 ; … là dãy số có d = 3 > 0 nhưng không phải là dãy số dương.

Câu 2: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un )

và gọi  Sn

là tổng n  số hạng

đầu tiên của nó. Biết S7  = 77 và S12  = 192 . Tìm số hạng tổng quát un   của cấp số cộng đó

1. un= 5 + 4n .              B. un  = 3 + 2n .            C. un  = 2 + 3n .            D. un  = 4 + 5n .

Lời giải

Chọn B

Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1  và công sai d .

ì7u

+ 7.6.d = 77

ìS  = 77

ïï    1

ì7u

+ 21d = 77

ìu  = 5

Ta có: í  7                     Û í            2

Û í    1

Û í 1             .

îS12  = 192

ï12u

+ 12.11.d = 192

î12u1 + 66d = 192

îd = 2

îï     1                 2

Khi đó: un  = u1 + (n -1) d = 5 + 2 (n -1) = 3 + 2n .

Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số nhân (un );u1 = 1, q = 2 . Hỏi số

1024 là số hạng thứ mấy?

11. A. B. 9 .                           C. 8 .                           D. 10 .

Lời giải

Chọn A

Ta có un  = u1.q

 

n-1

Û 1.2

 

n-1

= 1024 Û 2

n-1  = 210

Û n -1 = 10 Û n = 11.

 

Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

1. u

= (-1)n n .              B. u

= n2 .                  C.

u  = 2n .                  D. u  =  n .

n

 

 

 

Chọn C

Lập tỉ số

 

u

 

 

un+1 un

(-1)n+1 .(n +1)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +1

n

 

Lời giải

n         3n

A:    n+1  =                       = –

Þ (u

) không phải cấp số nhân.

n

u            (-1)n .n               n           n

u        (n +1)2

B:    n+1  =

n

u           n2

Þ (un

) không phải là cấp số nhân.

C: u

2n+1

n+1  =        = 2 Þ u

= 2u

Þ (u

) là cấp số nhân có công bội bằng 2 .

n

u        2n

n+1               n                  n

n

D: un+1  = n +1 Þ (u

) không phải là cấp số nhân.

un              3n

 

Câu 5: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số

nhân (un )

có u4  – u2  = 54 và u5 – u3  = 108 .

1. u1= 3 và q = 2 .       B. u1  = 9

 

Chọn B

và q = 2 .     C. u1  = 9

Lời giải

và q = –2 .   D. u1  = 3 và q = –2 .

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1  và công bội là q . Theo giả thiết, ta có

ìu4 – u2  = 54

ìïu1.q

Û

– u1.q = 54

 q ( q 2  – 1) 

54     1

3

í                         í                            Þ                 =        =

Û q = 2 .

îu5 – u3  = 108

ïu .q4  – u .q2  = 108

q2 (q2

-1)

108    2

î 1                   1

Với q = 2 , ta có 8u1 – 2u1  = 54 Û 6u1  = 54 Û u1  = 9 .

Câu 6: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Xác định số hàng đầu u1  và công sai d của cấp số cộng (un ) có u9 = 5u2  và u13 = 2u6 + 5 .

1. A.u1= 3 và d = 4 .              u1 = 3 và d = 5 .           C. u1 = 4 và d = 5 .           D. u1 = 4 và d = 3 .

Lời giải

Chọn A

ìïu1 + 8d = 5(u1 + d )

Ta có: un = u1 + (n -1) d . Theo đầu bài ta có hpt: í

u

+12d = 2 (u

+ 5d ) + 5

 

ì4u1 – 3d = 0     ìu1  = 3

Û í                   Û í         .

îï 1                                     1

îu1 – 2d = -5

îd = 4

n

Câu 7: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Với mọi n Î ¥* , dãy số (u

là cấp số cộng hay cấp số nhân?

) nào sau đây không phải

 

1. un= 2017n + 2018 .                                     B. un  = (-1)

ìu1  = 1

n æ 2017 ö

n

ç         ÷  .

è 2018 ø

í

u

1. ï

n

ìu  = 1

.                           D. í 1                                                          .

î

ïun+1  = 2018 ,

 

Chọn D

n = 1, 2, 3,…

îun+1  = 2017un  + 2018

Lời giải

• Xét dãy số (un)

trong phương án A, ta có

*

un+1 – un  = éë2017 (n +1) + 2018ùû – (2017n + 2018) = 2017 với mọi n Î ¥ . Vậy dãy số này là

một cấp số cộng.

• Xét dãy số (un)

trong phương án B, ta có

 

un+1  =

un

(-1)n+1 æ 2017 ö

ç         ÷

è 2018 ø

ç 2018 ÷

(-1)n æ 2017 ö

è         ø

n+1

 

 

 

n

= – 2017

2018

 

với mọi n Î ¥* . Vậy dãy số này là một cấp số nhân.

• Xét dãy số (un)

un

trong phương án C, ta có

un+1  = 2018 =   1

với mọi n Î ¥* . Vậy dãy số này là một cấp số nhân.

un                un

2018

• Xét dãy số (un)

trong phương án D, ta có

un+1 – un  = (2017un + 2018) – (2017un-1 + 2018) = 2017 (un – un-1 )

= 20172 (u

n-1

– un-2 )

= 20173 (u

=…

n-2

– un-3 )

= 2017n-1 (u

– u ) = 2017n-1 é(2017 + 2018) -1ù = 2.2017n

2          1                                   ë                          û

Vậy dãy số này không phải là cấp số cộng.

Mặt khác, ta có

un+1  = 2017un  + 2018 = 2017 + 2018 .

un                              un                                                      un

Tỷ số này thay đổi khi un  thay đổi nên dãy (un )

không là cấp số nhân.

 

Câu 8: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho ba số  a,

thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi

b,  c  theo thứ tự đó vừa lập

1. a = 1;

b = 2;

c = 3 .                                       B. a = d;

b = 2d ;

c = 3d

với d ¹ 0 cho trước.

1. a = q; b = q2;

 

Chọn D

c = q3   với q ¹ 0 cho trước.    D.

Lời giải

a = b = c .

Gọi d  và q lần lượt là công sai của cấp số cộng và công bội của cấp số nhân.

ìb = a + d = aq

Ta có: í

îc = a + 2d = aq2

Þ d = aq2  – aq

Þ a + aq2  – aq = aq

Û q2  – 2q +1 = 0

Û q = 1 Þ d = 0 Þ a = b = c .

Câu  9:  (THPT  Quãng  Xương-Thanh  Hóa-lần  1-năm  2017-2018)  Cho  chuyển  động  xác  định  bởi

phương trình

S = t3 – 3t 2 – 9t , trong đó t  được tính bằng giây và  S  được tính bằng mét. Tính

vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

1. 12 m/s2. B. -21 m/s .                C. -12 m/s2 .               D. -12 m/s .

Lời giải

Chọn D

Ta có v (t ) = S ‘(t ) = 3t 2 – 6t – 9 và a (t ) = v ‘(t ) = 6t – 6.

Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu thì 6t – 6 = 0 Û t = 1.

Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là v (1) = -12 m/s2 .

Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng  (un )

u3 – u15 = 84 . Số hạng u17  bằng

 

 

 

 

có  u1  = 123,

11. 235 . B. 11. C. 96000cm3 .            D. 81000cm3 .

Lời giải

Chọn B

Giả sử cấp số cộng (un ) có công sai d .

Theo giả thiết ta có: u3 – u15  = 84

Û u1 + 2d – u1 -14d = 84 Û -12d = 84 Û d = -7 .

Vậy u17  = u1 +16d = 123 +16.(-7) = 11 .

Câu 11: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số nhân (un ) có S2 = 4; S3 = 13 .

Biết u2 < 0 , giá trị S5  bằng

 

121. 35 . B. 181 . C. 2 .                          D. 121.

16

 

Chọn B

ì

16

 

 

u (1- q2 )

Lời giải

 

 

1              4

Û

1

ï S2  =

= 4      ìu (1+ q) = 4

ì      + q

=

ï             2

(1)

í

Ta có: ï

1- q                ï 1

í

ï1+ q + q     13

Û

í

ï        u (

– q3 )

ïîu (1+ q + q2 ) = 13    ï

   4           (  )

ïS3  =

î

1   1

1- q

1

= 13

u1  =

îï

2

1+ q

1+ q        4

ì   q = 3 Þ u1  = 1

Xét (1) :

=      Û 4q2 – 9q – 9 = 0 Û ï       3

1+ q + q2    13

íq = –    Þ u

= 16

ïî         4       1

Với q = 3;u1  = 1 Þ u2  = u1.q = 3 > 0 (loại)

3

Với q = –

;u1  = 16 Þ u2  = u1.q = -12 < 0 (Thỏa mãn).

4

5

æ     æ   3 ö  ö

è

16  1-  –

u (1- q5 )

çç     ç

4 ÷  ÷÷

181

Vậy S5  =

1

1- q

è      ø

=

1+ 3

ø =       .

16

4

Câu  12: (THPT  Chuyên  Hùng Vương-Bình Phước-lần  2-năm 2017-2018)  Một cấp số cộng có số

hạng đầu

u1  = 2018

công sai

d = -5

. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó

nhận giá trị âm.

1. u . B. u    .                        C.

u    .                                 D. u    .

406

 

 

Chọn C

Ta có un  = (n -1) d + u1

403

 

 

 

 

(n Î ¥).

Lời giải

405

404

Theo đề ra un  = 2018 – 5(n -1) < 0

Û 2018 < 5(n -1)

Û 2023 < 5n Û n > 2023 Þ n = 405

5

PP trắc nghiệm:

Vì un  = (n -1) d + u1 = 2018 – 5(n -1)

Thay từng giá trị vào ta có:

u403  = 2018 – 5.402 = 8 u404  = 2018 – 5.403 = 3 u405  = 2018 – 5.404 = -2 .

Câu 13: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Một cấp số cộng có tổng

của  n  số hạng đầu

Sn    tính theo công thức

S  = 5n2 + 3n ,

(n Î ¥* )

. Tìm số hạng đầu  u1   và

n

công sai d  của cấp số cộng đó.

1. u1

= -8; d = 10 .        B. u1

= -8; d = -10 .    C. . u1

Lời giải

= 8; d = 10 ..      D. u1

= 8; d = -10 .

Chọn C

Ta có S

= 5.12 + 3.1 = 8 = u

1                                                         1

Lại có S2  = u1 + u2  Û 2u1 + d = 26 Þ d = 10.

Câu 14: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau

1. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
2. B. Một cấp số nhân có công bội q > 1 là một dãy tăng.
3. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
4. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng.

Lời giải

Chọn B

Xét cấp số nhân (un ) với u1 = -2

và công bội q = 3 > 1. Ta có:

u2  = (-2).3 = -6 < u1 ; tăng, không giảm.

u3 = (-2).(-6) = 12 > u2 ;

u4  = (-2).12 = -24 < u3 ; … là dãy số không

Câu 15: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho {un } là cấp số cộng có công sai là d , {vn } là cấp số nhân có công bội là q và các khẳng định.

n

1. I) un = d + un-1

“n ³ 2, n Î ¥ .                         II) vn  = q v1

“n ³ 2, n Î ¥ .

III) u

= un-1 + un+1

“n ³ 2, n Î ¥ .                   IV) v

.v  = v2

“n ³ 2, n Î ¥ .

n           2

n (v1 + vn )

n-1

n            n+1

1. V) v1+ v2 + … + vn  =                   “n ³ 2, n Î ¥ .

2

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

1. 4 . B. 2 . C. 3 .                           D. 5 .

Lời giải

Chọn B

1. ĐÚNG : theo định nghĩa cấp số cộng.

1. SAI: do vn

= qn-1v , “n ³ 2, n Î ¥ theo công thức tổng quát của cấp số nhân.

1

• ĐÚNG: theo tính chất cấp số cộng.

1. SAI: do vn-1

.vn+1

= v2 , “n ³ 2, n Î ¥ theo tính chất cấp số nhân.

n

• SAI: do đây là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng. Số câu đúng là: 2 .

Câu 16: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân (un ) có u1 = -3 , công bội q = -2 .

Hỏi -192 là số hạng thứ mấy của (un )?

 

1. Số hạng thứ 6 . B. Số hạng thứ 7 . C. Số hạng thứ 5 .                D. Số hạng thứ 8 .

 

 

Chọn B

Lời giải

*

Giả sử -192 là số hạng thứ n của (un ) với n Î ¥ .

1

Ta có -192 = u .qn-1 Û -192 = (-3).(-2)n-1 Û 64 = (-2)n-1 Û (-2)6  = (-2)n-1 Û 6 = n -1

Û 7 = n . Do đó -192 là số hạng thứ 7 của (un ) .

Câu 17: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un ) có u5 = -15 , u20 = 60 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

1. A. S10= -125 . S10 = -250 .                   C. S10 = 200 .                      D. S10 = -200 .

 

 

Chọn A

Lời giải

Gọi u1 , d  lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

ìu  = -15      ìu  + 4d = -15      ìu  = -35

Ta có:     5                      Û     1                                     Û     1                     .

= 60

îu1

í

îu20

10

í    +19d = 60

í

îd = 5

Vậy S10  =

2 .(2u1 + 9d ) = 5. éë2.(-35) + 9.5ùû = -125 .

Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Xác định  x  dương để  2x – 3 ;  x ;

2x + 3 lập thành cấp số nhân.

1. x = 3 . B. x =  3 .

1. x = ±

 

 

Chọn B

3 .                                                      D. không có giá trị nào của x .

 

Lời giải

2x – 3 ; x ; 2x + 3 lập thành cấp số nhân Û x2  = (2x – 3)(2x + 3)

Û x2  = 4x2  – 9

Û x2  = 3

Û x = ±   3 .

Vì x dương nên x =   3 .

Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số  (un )

ìu1  = 1

xác định bởi

îun+1           n

í       = u  + 2n +1, n ³ 1

. Giá trị của n để

–un  + 2017n + 2018 = 0 là

1. Không có n . B. 1009 . C. 2018 .                     D. 2017 .

Lời giải

Chọn C Cách 1 :

Với n = 1 ta có: u

 

2  = u1

 

+ 3 = 4 = 22 .

Với n = 2 ta có: u

Với n = 3 ta có: u

3  = u2

= u

+ 2.2 +1 = 9 = 32 .

+ 2.3 +1 = 16 = 42 .

Từ đó ta có: un

4             3

= n2 .

 

2

én = -1( L)

Suy ra –un  + 2017n + 2018 = 0 Û –n

 

Cách 2 :

Ta có :

u2 = u1 + 2.1+1 u3 = u2 + 2.2 +1 u4  = u3 + 2.3 +1

……………….

un = un-1 + 2.(n -1) +1

Cộng các vế tương ứng ta được :

un  = u1 + 2.(1+ 2 + 3 +…..n -1) + n -1

+ 2017n + 2018 = 0 Û ê                   .

êën = 2018( N )

u  = 1+ 2. n -1 (1+ n -1) + n -1

2

n              2

én = -1( L)

2

un  = n

. Suy ra –un  + 2017n + 2018 = 0 Û –n

+ 2017n + 2018 = 0 Û ê                   .

êën = 2018( N )

Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cấp số nhân (un )

biết u3  = 12 , u7  = 192 . Tìm u10 .

có công bội âm,

1. u10= 1536 .              B. u10  = -1536 .          C. u10  = 3072 .            D. u10  = -3072 .

Lời giải

Chọn B

Gọi q là công bội của cấp số nhân đề bài cho (q < 0) .

í

Ta có ìïu

ïîu

= 12 = u q2

3                          1

7                              1

= 192 = u q6

u q6

1

Þ

1

u q2

12

= 192

12

Þ q4  = 16 .

Mà q < 0 Þ q = -2 Þ u1 =   2  = 3 .

q

Do đó u

= u q9  = 3.(-2)9  = -1536 .

10            1

Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho dãy số (un ) xác định bởi

ìu1 = cosa (0 < a < p )

ï

í              +                 . Số hạng thứ 2017 của dãy số đã cho là

ïun+1 =

î

1  un , “n ³ 1 2

æ  a  ö

æ  a  ö

æ  a  ö

æ  a  ö

1. u2017 = sin çè 22017 ÷ø . B. u2017  = cos çè 22017 ÷ø .  C. u2017  = cos çè 22016 ÷ø . D. u2017  = sin çè 22016 ÷ø .

Lời giải

Chọn C

Do 0 < a < p

nên

 

Ta có u2

=                  =               = cos a .

2

 

u  =                  =               = cos a

3                                                                                              4

 

Vậy u

= cosæ  a

ö  với mọi n Î¥* . Ta sẽ chứng mình bằng quy nạp.

n                   çè 2n-1 ÷ø

Với n = 1 đúng.

Giả sử với n = k Î¥*   ta có u

= cosæ  a

ö . Ta chứng minh u

= cosæ  a  ö .

k                    çè 2k -1 ÷ø

k +1

 

 

 

 

æ a ö

çè 2k -1 ÷ø

Thật vậy u

k +1

=             =                         =                    = cos

çè 2k ÷ø .

æ  a  ö

Từ đó ta có u2017  = cos çè 22016 ÷ø .

Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cấp số nhân (un )

u1 , biết rằng u1 £ 100 .

 

ìu20  = 8u17

îu1                    5

có í    + u  = 272

 

 

. Tìm

16. A. u1=

 

Chọn A

Ta có:

2. u1= 2.

16. u1= -16.

Lời giải

2. u1= -2.

ìu20  = 8u17

í

ìïu .q19  = 8u q16

Û    1                         1

ìu q16 (q3 – 8) = 0(1)

Û                                .

ï 1

+     =             í                             í

îu     u

272

ïu  + u .q4  = 272

u (1+ q4 ) = 272(2)

1          5                               î 1          1

ïî 1

éq = 0

Từ (2) suy ra u1 ¹ 0 do đó: (1) Û ê      .

ëq = 2

Nếu q = 0 thì (2) Û u1  = 272 không thõa điều kiện u1 £ 100 . Nếu q = 2 thì (2) Û u1  = 16 thõa điều kiện u1 £ 100 .

Câu 6: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un )

d = 2 . Tổng S10  = u1 + u2  + u3 ….. + u10   bằng:

 

 

có  u1  = 1

 

 

 

và công sai

21. S10= 110 .                B. S10  = 100 .                C. S10  = 21.               D. S10  = 19 .

Lời giải

Chọn B

n (un + u1 )

n éë2u1 + (n -1) d ùû

* Áp dụng công thức Sn

=                 =                             ta được:

2                       2

10 éë2 + (10 -1) 2ùû

S10  =

2             = 100 .

Câu 7: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Tổng của  n  số hạng đầu tiên của một

dãy số (an ) , n ³ 1 là Sn

= 2n2

• 3n . Khi đó

1. (an) là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .
2. (an) là một cấp số nhân với công bội bằng 4 .
3. (an) là một cấp số cộng với công sai bằng 1.
4. (an) là một cấp số nhân với công bội bằng 1.

Lời giải

Chọn A

Ta     có

S  = 2n2 + 3n Þ u  = S

= 5 ,

u + u  = S

= 14 Þ u

= 9 ,

u + u  + u  = S

= 27

n

Þ u3  = 13

1           1                              1           2             2                             2

1           2           3            3

Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án A.

Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un )

Tính công sai d .

có u1  = -3 , u6  = 27 .

1. d = 7 . B. d = 5 . C. d = 8 .                    D. d = 6 .

Lời giải

Chọn D

Ta có u6  = u1 + 5d = 27 Þ d = 6 .

Câu 9: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Cho cấp số nhân (un ) , biết u1 = 1; u4 = 64 . Tính công bội q

của cấp số nhân.

21. q = 21. B. q = ±4 . C. q = 4 .                    D. q = 2  2 .

Lời giải

Chọn C

Theo công thức tổng quát của cấp số nhân u

4           1

= u q3  Û 64 = 1.q3  Û q = 4 .

Câu 10: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà  Nội năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un ) , biết

u4  = 7 . Giá trị của u15   bằng

31. 27 . B. 31. C. 35 .                         D. 29 .

Lời giải

u2  = 3  và

Chọn D

ìu1 + d = 3

ìu1  = 1

î

Từ giả thiết u2  = 3 và u4  = 7 suy ra ta có hệ phương trình:

 

Vậy u15  = u1 +14d = 29 .

í

îu1

Þ

+ 3d = 7

íd = 2 .

 

Câu 11: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

1. A. un

= 5 – 3n , (n Î ¥ *) .                                 B. u

n

2n + 3                                                          n

= n – 5 , (n Î ¥ *) . 4n +1

1. un

= 2n3 + 3, (n Î ¥*) .                                 D. u

= cos(2n +1), (n Î ¥ *) .

 

Chọn A

Hướng dẫn giải

Xét un

= 5 – 3n , (n Î ¥ *) , ta có u

2n + 3

 

n+1

• un

5 – 3(n +1)   5 – 3n

=                   –

2 (n +1) + 3    2n + 3

= 2 – 3n – 5 – 3n 2n + 5          2n + 3

(2 – 3n)(2n + 3) – (2n + 5)(5 – 3n)

=

(2n + 5)(2n + 3)

4n – 6n2  + 6 – 9n -10n + 6n2  – 25 +15n

=

(2n + 5)(2n + 3)

 

=          -19          < 0, “n Î ¥*.

(2n + 5)(2n + 3)

 

Vậy un

= 5 – 3n , (n Î ¥ *) là dãy giảm. 2n + 3

Câu 12: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân (un ) có u1 = -1, công bội

q = – 1 . Hỏi 10

1

102017

là số hạng thứ mấy của (un ) ?

2018. A. Số hạng thứ B. Số hạng thứ 2017.  C. Số hạng thứ 2019.   D. Số hạng thứ 2016.

Lời giải

Chọn A

 

Ta có u

= u qn-1  = -æ – 1 ö

 

n-1

.

n            1                        ç

10 ÷

 

Khi đó u  =    1

è        ø

Û -æ – 1 ö

 

1

n-1

=

Û n = 2018 .

n        102017

ç   10 ÷

102017

 

Do đó

1

102017

è       ø

là số hạng thứ 2018 của (un ) .

Câu 13: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un )

u14  = 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.

có u4  = -12 ,

1. S16= -24 .                B. S16  = 26 .                C. S16  = -25 .              D. S16  = 24 .

Lời giải

Chọn D

ìu  + 3d = -12

Gọi d  là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có í 1

îu1 +13d = 18

ìu1  = -21

Û í             .

îd = 3

Khi đó, S16  =

(2u1 +15d ).16

2

= 8(-42 + 45) = 24 .

Câu 14: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Viết ba số xen giữa 2 và 22

để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng?

1. 6 , 12 , 18 . B. 8 , 13 , 18 . C. 7 , 12 , 17 .             D. 6 , 10 , 14 .

Hướng dẫn giải

Chọn C

 

Xem cấp số cộng cần tìm là (un )

í      = 22

có: ìu1  = 2

îu5

í

. Suy ra: ìu1  = 2 .

îd = 5

Vậy cấp số cộng cần tìm là (un ) : 2 , 7 , 12 , 17 , 22 .

Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho cấp số nhân un   có

u  = 1 , u  = 16 . Tìm công bội q và số hạng đầu u .

2         4     5                                                                                                                          1

1. q = 1 , u = 1 . B. q = – 1 , u  = – 1 .  C. q = -4 , u  = – 1

.   D. q = 4 , u  =  1 .

2     1         2

 

Chọn D

ì        1

ïu  =

 

 

ì          1

1

ïu .q =

2     1

 

 

(1)

2

Hướng dẫn giải

1             16

1        16

Ta có í  2

4   Û í         4                 .

ïîu5  = 16

ïu .q4

= 16

(2)

î 1

Chia hai vế của (2) cho (1) ta được q3  = 64 Û q = 4

Þ u1

=  1 .

16

Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Xác định  x  để bộ ba số

2x -1,  x , 2x +1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

1. x = ± 1 . B.

3

x = ±  1  .

3

1. x = ±

3 .                                                      D. Không có giá trị nào của  x .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bộ ba số 2x -1,  x , 2x +1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có

(2x -1)(2x +1) = x2  Û 4x2 -1 = x2  Û x = ±  1  .

3

 

 

4x2  – 2x +1 –

 

 

1- 2x

Câu 17: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Tính giới hạn lim                                 .

x®0                 x

1. 2 . B. -1. C. -2 .                         D. 0 .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

4x2 – 2x +1 –

lim

 

1- 2x

 

 

= lim

 

4x2

x®0                 x

x®0

(

= lim

x®0

4x 4x2  – 2x +1 +

1- 2x )

= 0 .

n

Câu 18: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Trong các dãy số (un ) cho bởi số hạng tổng quát un   sau, dãy số nào là dãy số giảm ?

1

1. un =   n

2

 

Chọn A

.                    B. un

= 3n -1 .             C. u

n +1                       n

Lời giải

= n2 .                  D. u  =

n + 2 .

1

Ta có un  =   n

2

<   1 2n+1

= un+1

“n Î ¥* .

Câu 19: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là  1 , số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048 ?

2

1. 1365 . B. 5416 .                    C.  5461 .                    D.  21845 .

2

 

Chọn C

2                                  2                                   2

Lời giải

 

1

Theo bài ra ta có u1  = 2 , u4  = 32 và un  = 2048 .

3

u4  = u1.q

Þ 32 =

1 .q3

2

Þ q = 4

un  = 2048 Þ u1.q

n-1

= 2048 Þ 4

n-1  = 46

Þ n = 7

u (1- q7 )

1 (1- 47 )       

Khi đó tổng của cấp số nhân này là S7  =

1

1- q

= 2             = 5461 .

1- 4           2

 

Câu 20: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un ) , biết:

u2  = -1. Chọn đáp án đúng.

1. u3= 4 .                      B. u3  = 7 .                    C. u3  = 2 .                   D. u3  = -5 .

Lời giải

u1  = 3 ,

Chọn D

Ta có (un ) là cấp số cộng nên 2u2  = u1 + u3

suy ra u3  = 2u2  – u1  = -5 .

Câu 21: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho cấp số nhân (un )

ìu1 + u2 + u3  = 13

thỏa mãn:

îu4                     1

í    – u  = 26

. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân (un ) là

9841. A. S8= 3280 .                S8  = 9841.              C. S8  = 3820 .             D. S8  = 1093 .

Lời giải

Chọn A

Ta có :

ìu1 + u2  + u3  = 13

ìu (1+ q + q

) = 13

 

 

     q  –1           

Û

1

ï                 2                                   ( 3          )     26

í                              í                            Þ                   =

Þ q -1 = 2 Þ q = 3 Þ u1  = 1.

2

îu4  – u1  = 26

u (q3 -1) = 26

(1+ q + q )   13

îï 1

 

S8  =

1(1- 38 )

1- 3

= 3280 .

Câu 22: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Xen giữa số 3 và số 768 là 7  số để được một cấp số nhân có u1  = 3 . Khi đó u5   là:

1. 72 . B. -48 . C. ±48 .                       D. 48 .

Lời giải

Chọn D

8

Ta có u1  = 3 và u9  = 768 nên 768 = 3.q

Þ q8

= 256

Þ q = ±2 .

5           1

Do đó u

= u .q4  = 3.24  = 48 .

Câu 23: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un ) , biết

d = 2 . Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?

1. 100 . B. 50 . C. 75 .                         D. 44 .

u1  = -5 ,

 

 

Chọn D

Lời giải

Ta có un  = u1 + (n -1) d Û 81 = -5 + (n -1) 2 Û n = 44 . Vậy 81 là số hạng thứ 44 .

Câu 24: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp

 

• ABC có

 

SA ^ ( ABC ) ,

góc giữa SB và ( ABC )

là 60° , DABC đều cạnh a . Thể tích khối chóp bằng

 

1. a

3 .                        B.

a  .                         C. a

3

3

4                                  2

Lời giải

.                                    D. a3 .

Chọn B

S

 

 

 

Diện tích DABC là S

 

 

 

 

DABC

B

 

a2     3

=          .

4

SA ^ ( ABC ) nên AB là hình chiếu của SB lên ( ABC ) .

(·(        ))

(·)     ·

Þ  SB,

ABC

=  SB, AB

= SBA = 60°.

DSAB

vuông tại  A có S·BA = 60° , ta có SA = AB. tan S·BA = a   3 .

1                  1  a2     3            a3

Thể tích khối chóp là V =   .S

• A =

.         .a

3 =     .

3   DABC

 

3     4                4

Câu 25: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng ?

2

• Dãysố (un) với un  = 4n .        b) Dãy số (vn ) với vn  = 2n

+ 1.

1. Dãy số (wn) với

w  = n – 7 .   d) Dãy số (t

) với t

=       – 5n .

n         3                              n                      n

1. 4 . B. 2 . C. 1.                            D. 3 .

Lời giải

Chọn D

Dãy số (un ) với un  = 4n

*

có un+1  = 4 (n + 1) = 4n + 4 Þ un+1 = un  + 4 , “n Î¥ Þ dãy số (un )

là cấp số cộng với công sai d = 4 .

Dãy số (vn )

với vn

= 2n2

+ 1 có v1  = 3, v2  = 9 , v3  = 19 nên dãy số (vn )

không là cấp số cộng.

n                        n + 1          n          1                       1               *

Dãy số (wn )

với

w  =    – 7 có  w

=         – 7 =    – 7 +     Þ u

= u  +    ,  “n Î¥  Þ dãy

n         3                n+1       3

1

3          3        n+1            n         3

số (wn ) là cấp số cộng với công sai d =  .

*

3

Dãy số (tn )

với

tn  =       – 5n

có tn+1 =

5 – 5n – 5 Þ un+1  = un  – 5 ,

“n Î¥ Þ dãy số (wn )

là cấp số cộng với công sai d = -5 . Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng.

Câu 26: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho dãy số vô hạn {un } là cấp số cộng có công sai

d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định sai?

1. u

= u1 + u9  .             B. u  = u

+ d , n ³ 2 .

5                2                          n            n-1

n                                                                   *

1. C. S12=

 

Chọn C

(2u1 +11d ) .  D. un  = u1 + (n -1).d , “n Î ¥ .

2

Hướng dẫn giải

 

 

n (n -1) d

Ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: Sn  = nu1 +  2

Suy ra S12  = 12u1 +

12.11.d

2

= 6 (2u1 +11d ) ¹

(2u1 +11d ) .

n

2

Câu 27: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m  để

 

hàm số

ì

í

f (x) = ï

x +1 -1

x

khi  x > 0

liên tục trên ¡ .

î

ï   x2 +1 – m  khi  x £ 0

 

1. m = 3 . B. m = 1 . C. m = -2 .                  D. m = – 1 .

2

 

 

Chọn B

2                                                                        2

Lời giải

 

 

Khi

x > 0 ta có:

f (x) =

x +1 -1 liên tục trên khoảng (0; +¥).

x

 

Khi

x < 0

ta có:

f (x) =

x2 +1 – m liên tục trên khoảng (-¥; 0) .

 

Hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại

x = 0 .

 

Ta có:

lim f (x) = lim

x +1 -1 = lim

1       = 1 .

x®0+

x®0+        x

x®0+

x +1 +1    2

lim f (x) = lim (

x2 +1 – m) = 1- m = f (0) .

x®0-

x®0-

 

 

Do đó hàm số liên tục tại

x = 0 khi và chỉ khi 1 = 1- m Û m = 1 .

2                        2

Câu 28: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000  con.

11. A. 10 . 11. C. 26 .                        D. 50 .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (un )

Ta có:

với công bội q = 2 .

5

u6  = 64000 Þ u1.q

= 64000

Þ u1  = 2000 .

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un+1 .

n                                                                   n

un+1  = 2048000 Þ u1.q

= 2048000 Þ 2000.2

= 2048000

Þ n = 10 .

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000  con.

 

Câu 29: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Tính

đúng?

F (x) = ò x sin 2xdx . Chọn kết quả

1. F (x) = 1 (2x cos 2x + sin 2x) + C . F (x) = – 1 (2x cos 2x + sin 2x) + C .

4                                                                          4

1. C. F (x) = – 1 (2x cos 2x – sin 2x) + C . F (x) = 1 (2x cos 2x – sin 2x) + C .

4

 

Chọn C

ìu = x

í

 

 

ìdu = dx

Þ ï

4

Hướng dẫn giải

 

 

, ta được

Đặt

îdv = sin 2xdx

ív = – 1 cos 2x

îï         2

F (x) = – 1 x cos 2x + 1 ò cos 2xdx = – 1 x cos 2x + 1 sin 2x + C = – 1 (2x cos 2x – sin 2x) + C .

2                2                       2                4                       4

 

Câu 30: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng  (un )

có u1  = 1 và

 

tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính S =

1

u1 u2

+   1

u2u3

+ … +

1

 

u49u50

1. S = 123 . B. S =

 

 

Chọn D

4  .                  C. S =

23

Hướng dẫn giải

9

246

.                 D. S =

49  .

246

Ta có S100  = 24850 Û

(u1 + u

) = 24850 Û u

= 496 .

n

2          n

u100  – u1

100

Vậy u100  = u1 + 99d

Û d =

99

Û d = 5 .

S =   1

+   1   + … +   1

=  1  +   1   +

1    + … +      1      .

u1 u2

u2u3

u49u50

1.6    6.11   11.16        241.246

Þ 5S =  5  +   5   +

5    + … +      5

= 1 – 1 + 1 – 1 + … +  1   –   1

1.6    6.11   11.16        241.246

1    6    6   11         241   246

= 1 –   1   = 245 Þ S =  49 .

1    246

246

246

Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho ba số  x ; 5 ; 2 y  theo thứ tự lập thành cấp số

cộng và ba số x ; 4 ; 2 y  theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì

x – 2 y

bằng

1. x – 2 y = 8 . B.

x – 2 y = 9 .             C. Lời giải

x – 2 y = 6 .             D.

x – 2 y = 10 .

Chọn C

Ta có:

ìïx + (2 y ) = 2.5

 

ìïx + 2 y = 10

 

ìx = 8

 

ìx = 2

í

x.(2 y ) = 42

Û íx.(2 y ) = 16 Û í2 y = 2 hoặc í2 y = 8 .

ïî

Từ đó, ta có

ïî                        î                    î

x – 2 y = 8 – 2 = 6 .

 

Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có tổng  n  số hạng đầu là

n

S  = 3n2  + 4n , n Î¥*. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

61. u10= 55 .                   B. u10  = 67 .                C. u10  = 61.                 D. u10  = 59.

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết ta có S

= u  = 3.12 + 4.1 = 7 .

 

Ta có Sn

= 3n2

1           1

n (8 + 6n )

+ 4n =

2

n (7 + 6n +1)

=

2

Þ un  = 6n +1 Þ u10 = 61.

Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho ba số x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng

và ba số x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì  3y – x

bằng?

1. A. 8 . 6 . C. 9 .                           D. 10 .

Lời giải

Chọn A

Ta có x , 5 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Þ x + 3y = 5.2 Û x = 10 – 3y . Lại có x , 3 , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Þ x.3y = 32  Û xy = 3 .

é y = 3 Þ x = 1 Þ 3y – x = 8

Do đó

y (10 – 3y ) = 3 Û 3y2 -10 y + 3 = 0 Û ê   1

ê y =    Þ x = 9 Þ 3y – x = 8

 

Vậy  3y – x = 8 .

ëê      3

 

Câu 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60° . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN ) bằng

1. a . B.  7a .                        C. 3a .                        D.  a .

7

 

Chọn C

3                                  7                                 3

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , khi đó SG ^ ( ABC ) .

Ta có (·(        ))

(·)     ·       ·

SA;

ABC

=  SM ; AG

= SAG Þ SAG = 60°.

 

2 AM = 2 . a  3 = a  3 3 3    2 3

Ta có AG =

nên suy ra

SG = AG. tan S·AG = a

3 . tan 60° = a .

3

Gọi  K là giao điểm của  BG với  MN , khi đó  BG ^ MN , nên suy ra  MN ^ (SGK ) . Kẻ GH ^ SK , với  H Î SK . Từ  MN ^ (SGK ) Þ MN ^ GH .

Từ GH ^ SK

và MN ^ GH

suy ra GH ^ (SMN ) , do đó GH = d (G;(SMN )) .

CN

Vì           = 3 nên d (C;(SMN )) = 3d (G;(SMN )) = 3GH .

GN

2                    2

1          1  a  3    a  3

æ a  3 ö    æ a ö        a

Ta có GN =

CN =   .

=         , GK =

=   ç        ÷

– ç   ÷   =        .

3          3    2         6

è   6   ø

è 4 ø      4  3

1    =    1    +   1    =

1      +  1

= 49 Þ GH = a .

GH 2

GK 2

SG2

2             2              2

a

a

7

æ   a   ö

4  3

ç        ÷

è        ø

Vậy d (C;(SMN )) = 3GH = 3a .

7

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

 

Câu 5: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho cấp số cộng (un )

nhất của u1u2  + u2u3 + u3u1 ?

 

có u1  = 4 . Tìm giá trị nhỏ

24. -20 . B. -6 . C. -8 .                                  D. -24.

Lời giải

Chọn D

Ta gọi d  là công sai của cấp số cộng.

u1u2 + u2u3 + u3u1 = 4 (4 + d ) + (4 + d )(4 + 2d ) + 4 (4 + 2d )

= 2d 2 + 24d + 48 = 2(d + 6)2 – 24 ³ -24

Dấu ” = ” xảy ra khi d = -6

Vậy giá trị nhỏ nhất của u1u2  + u2u3 + u3u1  là -24 .

Câu 6: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là: