Tóm tắt tài liệu
Phép biến hình trong mặt phẳng là một chuyên đề khá quan trọng trong chương trình toán học lớp 11 – Hình học. Hôm nay, tailieure giới thiệu đến các em tất cả các vấn đề từ lý thuyết đến bài tập và cách học tốt dạng toán này. Phép biến hình trong mặt phẳng là một chuyên đề hình học khá lạ đối với các em học sinh lớp 11, do đó để học tốt dạng toán này, các em cần phải trang bị một nền tảng kiến thức vững chắc. Chúc các em học tốt!
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Lý thuyết phép biến hình
Theo SGK toán 11, định nghĩa như sau:
Qui tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong một mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ trong mặt phẳng đó thì được gọi là PBH trong mặt phẳng.
Trong mặt phẳng bao gồm các PBH như:
a) Phép tịnh tiến
b) Phép đối xứng trục
c) Phép đối xứng tâm
d) Phép vị tự
e) Phép quay
Để tìm hiểu chi tiết các loại PBH trên, chúng ta cùng tham khảo các mục 2,3,4,5,6 dưới đây để hiểu rõ hơn.
2. Phép tịnh tiến
+ Trong mặt phẳng có vectơ \[{\vec{v}}\]. Phép biến hình biến mỗi đểm \[M\] thành điểm \[M’\] sao cho \[\overrightarrow{M{M}’}=\vec{v}\]→ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ \[{\vec{v}}\].
Phép tịnh tiến theo vectơ \[{\vec{v}}\] thường được kí hiệu là \[{{T}_{{\vec{v}}}}\], \[{\vec{v}}\] được gọi là vectơ tịnh tiến
Do đó: \[{{T}_{{\vec{v}}}}(M)=M’\Leftrightarrow \overrightarrow{M{M}’}=\vec{v}\]
+ Nếu \[{{T}_{{\vec{v}}}}(M)=M’\], \[{{T}_{{\vec{v}}}}(N)=N’\] thì \[\overrightarrow{M{M}’}=\overrightarrow{N{N}’}\] từ đó suy ra \[M{M}’=N{N}’\]. Như vậy phép tịnh tiến là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách
+ Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thằng song song hoặc trùng nhau với nó, biến đoạn thằng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính. ( tất nhiên vì nó là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách)
+ Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Cho vectơ \[\vec{v}(a;b)\] và hai điểm \[M(x;y),{M}'({x}’;{y}’)\]. Khi đó:
\[{M}’={{T}_{{\vec{v}}}}(M)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x’=x+a \\y’=y+b \\\end{matrix} \right.\]
3. Phép đối xứng trục
– Định nghĩa: Phép đối xứng trục biến điểm M thuộc đường thẳng d thành chính nó, biến điểm M không thuộc đường thẳng d thành điểm \[M’\] sao cho \[d\] là đường trung trực của đoạn \[MM’\].
– Tên gọi: phép đối xứng trục qua đường thẳng \[d\]
– Biểu thức véc tơ: \[\overrightarrow{M{M}’}=\overrightarrow{{M}’M}\]
– Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua trục \[Ox\]: \[\left\{ \begin{matrix}{x}’=x \\{y}’=-y \\\end{matrix} \right.\]
– Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua trục \[Oy\]: \[\left\{ \begin{matrix}{x}’=-x \\{y}’=y \\\end{matrix} \right.\]
– Tính chất của phép đối xứng trục:
+) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
+) Biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thằng thành đoạn thẳng bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
4. Phép đối xứng tâm
– Định nghĩa: Cho điểm \[O\], phép biến hình biến \[O\] thành chính nó, điểm \[M\] khác \[O\] thành điểm \[M’\] sao cho \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MM’\] được gọi là phép đối xứng tâm. Với tâm đối xứng là \[O\].
– Kí hiệu: \[{{D}_{O}}(M)\]
– Biểu thức véc tơ: \[{M}’={{D}_{O}}(M)\Leftrightarrow \overrightarrow{O{M}’}=-\overrightarrow{OM}\]
– Biểu thức tọa độ: \[\left\{ \begin{matrix}{x}’=-x \\{y}’=y \\\end{matrix} \right.\]
5. Phép vị tự
– Định nghĩa: Cho điểm \[O\] và hệ số \[k\ne 0\], phép biến hình biến mỗi điểm \[M\] thành điểm \[{M}’\] sao cho \[\overrightarrow{O{M}’}=k.\overrightarrow{OM}\] được gọi là phép vị tự tâm \[O\], tỉ số \[k\].
– Kí hiệu: \[{{V}_{(O,k)}}\]
– Tính chất:
Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng \[a\] thành đoạn thẳng có độ dài bằng \[k.\left| a \right|\].
6. Phép quay
– Cho điểm \[O\] và góc lượng giác \[\alpha \]. Phép biến hình biến \[O\] thành chính nó, biến mỗi điểm \[M\] khác \[O\] thành điểm \[M\prime \] sao cho \[OM\prime =OM\] và góc lượng giác \[\widehat{(OM;O{M}’)}=\alpha \] được gọi là phép quay tâm \[O\] góc \[\alpha \]
– Kí hiệu: \[{{Q}_{(O,\alpha )}}\]
– Tính chất:
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính
7. Trắc nghiệm phép biến hình
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến \[{{T}_{\overrightarrow{DA}}}\] biến:
A. B thành C.
B. C thành A.
C. C thành B.
D. A thành D.
Câu 2. Cho hình bình hành ABCD, Khi đó :
A. \[B={{T}_{\overrightarrow{AD}}}(C)\]
B. \[B={{T}_{\overrightarrow{DA}}}(C)\]
C. \[B={{T}_{\overrightarrow{CD}}}(A)\]
D.\[B={{T}_{\overrightarrow{AB}}}(C)\]
Câu 3. Cho \[\Delta ABC\] có trọng tâm \[G\]. Phép \[{{T}_{\overrightarrow{AG}}}(G)=M\], khi đó điểm \[M\] sẽ là:
A. M là trung điểm cạnh BC
B. M trùng với điểm A
C. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCM
D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCGM
Câu 4. Qua phép tịnh tiến véc tơ \[\overrightarrow{u}\], đường thẳng \[d\] có ảnh là đường thẳng \[d\], ta có:
A. \[{{d}’}\] trùng với \[d\] khi \[d\] song song với giá \[\overrightarrow{u}\]
B. \[{{d}’}\] trùng với \[d\] khi \[d\] vuông góc với giá \[\overrightarrow{u}\]
C. \[{{d}’}\] trùng với \[d\] khi \[d\] cắt đường thẳng chứa \[\overrightarrow{u}\]
D. \[{{d}’}\] trùng với \[d\] khi \[d\] song song hoặc \[d\] trùng với giá \[\overrightarrow{u}\]
B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH
- Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến bằng tính toán
- Dạng 2: Một số bài toán suy luận và quĩ tích
Khi tìm hiểu các dạng bài tập liên quan đến chương phép biến hình. Mặc dù chỉ có 2 dạng toán cơ bản như trên. Tuy nhiên ở mỗi dạng toán phải áp dụng cho từng loại phép biến hình. Do đó, lượng bài tập trở nên vô cùng phong phú và đa dạng. Dưới đây là một số bài tập căn bản nhất. Lưu ý, để xem tất cả bài tập ở chương này, các em có thể tải tài liệu trên đễ thuận tiên hơn trong việc theo dõi.
Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong khá nhiều bài tập về phép biến hình, cả tự luận cũng như trắc nghiệm. Để đạt kết quả cao nhất trong dạng bài tập này, các em cần có độ chính xác cao trong quá trình tính toán, tránh sai sót cũng như hiểu rõ bản chất từng loại phép biến hình. Chúc các em học tốt.
Từ khóa bài viết: Tổng hợp kiến thứ phép biến hình
