Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng và bài tập

Khảo sát hàm số là một trong những chủ đề có khá nhiều dạng toán con. Một trong những dạng toán khá phức tạp đó là dạng toán tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng. Tài liệu dưới đây sẽ giúp các em nắm vững hơn về kiến thức cũng như làm quen với một số bài tập có lời giải chi tiết. Chúng ta hãy cùng tìm hiểu nhé!

TẢI XUỐNG ↓

Ta xét dạng toán tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$ hoặc trên khoảng con của $\mathbb{R}$ .

Lý thuyết tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng

Cho hàm số $y = f(x, m)$ với $m$ là tham số xác định trên một khoảng $I$ .

1. Hàm số đồng biến trên $I \Leftrightarrow y’ \ge 0, \forall x \in I$ và $y’ = 0$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
2. Hàm số nghịch biến trên $I \Leftrightarrow y’ \le 0, \forall x \in I$ và $y’ = 0$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

Chú ý về việc xét dấu của $y’$ ta thường sử dụng phương pháp hàm số hay định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Cho tam thức bậc hai: $g(x) = ax^2 + bx + c, (a \neq 0)$ .

1. Nếu $\Delta < 0$ thì $g(x)$ luôn cùng dấu với $a$ .
2. Nếu $\Delta = 0$ thì $g(x)$ luôn cùng dấu với $a$ (trừ $x = -\frac{b}{2a}$).
3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình $g(x) = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt, khi đó dấu của $g(x)$ trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với hệ số $a$ , ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số $a$.

Các bước cơ bản để giải bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng xác định:

+ Bước 1: Tìm miền xác định.

+ Bước 2: Tìm đạo hàm.

+ Bước 3: Áp dụng lý thuyết vửa nhắc ở trên

+ Bước 4: Thực hiện tính toán chính xác và đưa ra đáp án.

Một số bài tập cơ bản

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = 2\sin^3 x – 3\sin^2 x + m\sin x$ đồng biến trên $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$

Phân tích:

Ta có thể biết được $(0; 1)$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì hàm số đồng biến bởi $y’$ là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 6 > 0$ , do vậy dựa trên cách xét dấu tam thức bậc hai đã học ở lớp 10 thì:

1. Nếu $\Delta < 0$ thì dấu của tam thức cùng dấu với hệ số $a$ , tức là lớn hơn $0$ , tức là luôn đồng biến.
2. Nếu phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ thì trong khoảng hai nghiệm hàm số sẽ khác dấu với hệ số $a$ , và ngoài khoảng hai nghiệm thì hàm số sẽ cùng dấu với hệ số $a$ .

Lời giải:

Do hàm số $t = \sin x$ đồng biến trên $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ nên đặt $t = \sin x;\ t \in (0; 1)$ .

Để hàm số đồng biến trên $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ thì hàm số $y = f(t)$ phải đồng biến trên $(0; 1) \Leftrightarrow$phương trình $y’ = 0$ hoặc là vô nghiệm, có nghiệm kép $(1)$; hoặc là có 2 nghiệm $x_1 < x_2$ thỏa mãn $\begin{bmatrix} x_1 < x_2 < 0 < 1 \\ 0 < 1 < x_1 < x_2 \end{bmatrix} \quad (2)$.

Trường hợp 1 : Phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta’ \le 0 \Leftrightarrow 9 – 6m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}$ .

Trường hợp 2 : Thỏa mãn $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \begin{cases} \Delta’ > 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0 \\ x_1 + x_2 < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} \Delta’ > 0 \\ (x_1 – 1)(x_2 – 1) > 0 \\ \frac{x_1 + x_2}{2} > 1 \end{cases} \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \begin{cases} m < \frac{3}{2} \\ \frac{m}{6} > 0 \\ 1 < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} m < \frac{3}{2} \\ \frac{m}{6} – 1 + 1 > 0 \\ \frac{1}{2} > 1 \end{cases} \end{bmatrix} \quad \text{(loại)}.$

Vậy là qua một số bài tập trên chúng ta đã biết cách tìm m để hàm số nghịch biến cũng như đồng biến trên một khoảng xác định. 2 dạng toán này còn được gọi chung là dạng toán tìm m để hàm số đơn điệu trên một khoảng. Mong rằng với tài liệu nhỏ trên có thể giúp các bạn làm chủ được chuyên đề này.

Xem thêm video