Phương trình mặt phẳng trong không gian và bài tập

Phương trình mặt phẳng trong không gian được trình bày với hai phần riêng rẽ: lý thuyết và các dạng bài tập chi tiết, đầy đủ, dễ hiểu và rõ ràng, giúp các em có cái nhìn khá toàn diện, hiểu rõ về bản chất cũng như nằm lòng các phương pháp giải của chủ đề này. Các em hãy cùng theo dõi hoặc tải  tài liệu này xuống nhé!

TẢI XUỐNG PDF ↓

Tóm tắt lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian

1. Phương trình mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
• Vectơ n ≠ vectơ 0  là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (α) nếu giá của vectơ n vuông góc với (α).

• Hai vectơ a, b  không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của (α) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (α).
Chú ý:
• Nếu vectơ n là một VTPT của (α) thì kn (k ≠0)  cũng là VTPT của (α).
• Nếu vectơ a b là một cặp VTCP của (α) thì n =[a;b] là một VTPT của (α).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng Ax + By + Cz +D = 0 với A² +B² +C² > 0 .
• Nếu (α) có phương trình Ax + By +  Cz + D= 0 thì vectơ n =(A;B;C) là một VTPT của (α).
• Phương trình mặt phẳng đi qua Mο = (xο; yο; zο)và có một VTPT n = (A;B;C) là: A(x-xο) + B(y-yο) + C( z-zο) = 0

2. Chú ý

• Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn  . Ở đây (α) cắt các trục toạ độ tại các điểm.

Phân dạng bài tập

Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , cho điểm A(xA; yA; zA) và mặt phẳng (α): 0 Ax +  By + Cz + D = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức d[A(α)].

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng

Phương pháp

Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1. Xác định M0(x0; y0; z0) ∈ (P) và vtpt n (n1; n2; n3) của (P).

Bước 2. Khi đó:(P):M0(x0; y0; z0) và vtpt n (n1; n2; n3)qua M (x ;y ;z )vtpt n(n ; n ; n ) ⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) = 0.

Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích.

Chú ý: Chúng ta có các kết quả:

1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0), luôn có dạng: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

2. Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3), luôn có dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D = 0

Để xác định (P), ta cần đi xác định D.

3. Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0, luôn có dạng: (P): Ax + By + Cz + E = 0
Để xác định (P), ta cần đi xác định E.

4. Phương trình mặt phẳng trong không gian theo các đoạn chắn, đó là mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình:(P):

5. Với phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng hàng M, N, P chúng ta có thể lựa chọn
một trong hai cách sau:

Cách 1: Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có: n ⊥MN; n ⊥ MP ⇔ n =[ MN, MP ].Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) được cho bởi:(P):qua M và vtpt n

Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình:Ax + By + Cz + D = 0, (1) với A2 + B2 + C2 > 0. Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ ba phương trình với bốn ẩn A, B, C, D.

Biểu diễn ba ẩn theo một ẩn còn lại, rồi thay vào (1) chúng ta nhận được phương trình mặt phẳng (P).

Bài tập phương trình mặt phẳng trong không gian có lời giải

Trên đây là toàn bộ kiến thức  khá cơ bản về  phương trình mặt phẳng trong không gian. Sau phần lý thuyết và phương pháp giải là những ví dụ minh họa cũng như bài tập giúp các em dễ hình dung cách làm và thông thạo một cách nhanh chóng. Chúng tôi mong rằng, phần tài liệu này có thể giúp đỡ các em một cách hiệu quả, tối ưu. Chúc các em học tốt!