• Toán học
    • Toán 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12
TÀI LIỆU RẺ
TÀI LIỆU RẺ

0909090

  • Toán học
    • Toán 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12
Trang chủ
Bài toán hay

Bài toán tính tổng S = 1^3+2^3+3^3+…+n^3

16/05/2019 Nguyễn Tấn Linh Bài toán hay 0 comments
Bài toán tính tổng S = 1^3+2^3+3^3+…+n^3

Tóm tắt tài liệu

  • Bài toán được viết dưới dạng đề khác là chứng minh: \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ..{n^3} = {(1 + 2 + 3 + … + n)^2}\]
    • Cách số 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp
    • Cách số 2: Phương pháp giải theo hàm số
    • Cách số 3:
  • 15 hằng đẳng thức phức tạp trong các đề thi HSG toán THCS

Bài toán được viết dưới dạng đề khác là chứng minh: \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ..{n^3} = {(1 + 2 + 3 + … + n)^2}\]

Cách số 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp

Với \[n = 1;{\rm{ }}n = 2\] thì đẳng thức hẳn nhiên đúng.

Giả sử đẳng thức đúng khi \[n = k\], khi đó ta có giả thiết:

\[{1^3} + {2^3} + {3^3} + …{k^3} = {(1 + 2 + 3 + 4.. + k)^2}\]

Ta sẽ chứng minh công thức đó đúng với: \[n = k + 1\], tức phải chứng minh:

\[{1^3} + {2^3} + {3^3} + …{k^3} + {(k + 1)^3} = {(1 + 2 + 3 + 4.. + k + k + 1)^2}\]

Ta có công thức tính tổng như sau: \[1 + 2 + 3 + 4 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\]

\[ \Rightarrow {(1 + 2 + 3 + 4 + … + n)^2} = \frac{{{{({n^2} + n)}^2}}}{4}\]

Viết lại đẳng thức của đề bài cần chứng minh:

\[\frac{{{{({k^2} + k)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{({k^2} + 3k + 2)}^2}}}{4}\]

\[ \Leftrightarrow {({k^2} + 3k + 2)^2} – {({k^2} + k)^2} = 4{(k + 1)^3}\]

\[ \Leftrightarrow 4{k^3} + 12{k^2} + 12k + 4 = 4{(k + 1)^3}\]

\[ \Leftrightarrow 4{(k + 1)^3} = 4{(k + 1)^3}\]

Để chứng minh các bước trên, đơn giản là các bạn cứ nhân vào sau đó rút gọn đi là oke hết à.

Theo nguyên  lý quy nạp thì ta có điều phải chứng minh.

Cách số 2: Phương pháp giải theo hàm số

Giả sử: \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {n^3} = f(n) = a{n^4} + b{n^3} + c{n^2} + dn\]

Ta có:

\[f\left( 1 \right) = 1 = a + b + c + d\]

\[f\left( 2 \right) = 9 = 16a + 8b + 4c + 2d\]

\[f\left( 3 \right) = 36 = 81a + 27b + 9c + 3d\]

\[f\left( 4 \right) = 100 = 256a + 64b + 16c + 4d\]

Giải hệ phương trình trên ta được các hệ số a, b, c, d duy nhất. Thay vào fn thì ta được đa thức f(n) ở phía trên.

Cách số 3:

Ta có: \[{x^3} = {[\frac{{x(x + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{x(x – 1)}}{2}]^2}\]

Suy ra:

\[{1^3} = {[\frac{{1(1 + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{1(1 – 1)}}{2}]^2}\]

\[{2^3} = {[\frac{{2(2 + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{2(2 – 1)}}{2}]^2}\]

…

\[{n^3} = {[\frac{{n(n + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{n(n – 1)}}{2}]^2}\]

Cộng theo vế ta được: \[{1^3} + {2^3} + … + {n^3} = {[\frac{{n(n + 1)}}{2}]^2}\] (điều phải chứng minh)

15 hằng đẳng thức phức tạp trong các đề thi HSG toán THCS

1. \[{(a + b + c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac\]

2. \[{(a + b – c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab – 2bc – 2ac\]

3. \[{(a – b – c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} – 2ab – 2ac + 2bc\]

4. \[{a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} – 3ab(a + b)\]

5. \[{a^3} – {b^3} = {(a – b)^3} + 3ab(a – b)\]

6. \[{(a + b + c)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(c + a)\]

7. \[{a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ac)\]

8. \[{(a – b)^3} + {(b – c)^3} + {(c – a)^3} = 3(a – b)(b – c)(c – a)\]

9. \[(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a{(b – c)^2} + b{(c – a)^2} + c{(a – b)^2}\]

10. \[\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) – abc\]

11. \[a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} – {a^2}b – {b^2}c – {c^2}a = \frac{{{{(a – b)}^3} + {{(b – c)}^3} + {{(c – a)}^3}}}{3}\]

12. \[a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} – {a^3}b – {b^3}c – {c^3}a = \frac{{(a + b + c)[{{(a – b)}^3} + {{(b – c)}^3} + {{(c – a)}^3}]}}{3}\]

13. \[{a^n} – {b^n} = (a – b)({a^{n – 1}} + {a^{n – 2}}b + {a^{n – 3}}{b^2} + … + {a^2}{b^{n – 3}} + a{b^{n – 2}} + {b^{n – 1}})\]

14. Với n là số lẻ ta có:

\[{a^n} + {b^n} = (a + b)({a^{n – 1}} – {a^{n – 2}}b + {a^{n – 3}}{b^2} – … + {a^2}{b^{n – 3}} – a{b^{n – 2}} + {b^{n – 1}})\]

15. Nhị  thức newton:

\[{(a + b)^n} = {a^n} + \frac{{n!}}{{(n – 1)!1!}}{a^{n – 1}}b + \frac{{n!}}{{(n – 2)!2!}}{a^{n – 2}}{b^2} + … + \frac{{n!}}{{(n – k)!k!}}{a^{n – k}}{b^k} + … + \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}{a^2}{b^{n – 2}} + \frac{{n)!}}{{1!(n – 1)!}}a{b^{n – 1}} + {b^n}\]

Previous article Chứng minh rằng (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3.(a + b)(b + c)(c + a) bằng 4 cách
Next article Lý thuyết trắc nghiệm thành phần nguyên tử Hóa Lớp 10
Nguyễn Tấn Linh

Nguyễn Tấn Linh

Giảng Viên

"Website được tạo ra với mục đích chia sẻ tài liệu các môn học, phục vụ cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập, giảng dạy. Mang sứ mệnh tạo nên một thư viện tài liệu đầy đủ nhất, có ích nhất và hoàn toàn miễn phí. +) Các tài liệu theo chuyên đề +) Các đề thi của các trường THPT, THCS trên cả nước +) Các giáo án tiêu biểu của các thầy cô +) Các tin tức liên quan đến các kì thi chuyển cấp, thi đại học. +) Tra cứu điểm thi THPT quốc gia +) Tra cứu điểm thi vào lớp 10, thi chuyển cấp"

Bài Viết Liên Quan
Chứng minh rằng (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3.(a + b)(b + c)(c + a) bằng 4 cách

Chứng minh rằng (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3.(a + b)(b + c)(c + a) bằng 4 cách

15/05/2019
Bài toán chứng minh 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n.(n+1).(2n+1)/6

Bài toán chứng minh 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n.(n+1).(2n+1)/6

12/05/2019

Leave a Reply Cancel reply

Chuyên Đề
  • Toán học
    • Toán 10
    • Toán 11
    • Toán 12
  • Vật lý
    • Vật lý 10
    • Vật lý 11
    • Vật lý 12
  • Hóa học
    • Hóa lớp 10
    • Hóa lớp 11
    • Hóa lớp 12




Tài Liệu Rẻ - Kho Tài Liệu Luyện Thi Đại Học Lớp 10 Miễn Phí

  • DMCA.com Protection Status

CƠ QUAN CHỦ QUẢN

Công Ty TNHH Giải Pháp TMĐT Đại Nguyễn

MST: 0314376934

Địa chỉ : 1446-1448, Đường 3/2, Phường 2, Quận 11, Thành phố Hồ Chí Minh.

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Tấn Tài

VỀ TÀI LIỆU RẺ

Giới thiệu

Điều khoản chung

Chính sách bảo mật

Tuyển dụng

DÀNH CHO ĐỐI TÁC

Hotline : 0933.052.363

Email : info.dainguyengroup@gmail.com

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Đường dây nóng : 0933.052.363

Email tòa soạn : info.dainguyengroup@gmail.com

Phiên bản @copy; 2019. Bản quyền nội dung thuộc về Tài Liệu Rẻ