Tóm tắt tài liệu
Chứng minh rằng (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3.(a + b)(b + c)(c + a) với mọi a, b, c bằng 3 cách
Cách số 1: Khai triển vế trái thành vế phải
Khai triển như sau:
Vế trái = \[{(a + b + c)^3} = {((a + b) + c)^3} = {(a + b)^3} + {c^3} + 3(a + b)c(a + b + c)\]
\[ = {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b) + {c^3} + 3(a + b)c(a + b + c)\]
\[ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(ab + c(a + b + c))\]
\[ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(ab + ac + bc + {c^2})\]
\[ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(a + c)(b + c)\]
= Vế Phải (điều phải chứng minh)
Cách số 2: Khai triển vế phải thành vế trái
Vế Phải = \[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(c + a)\]
\[ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(ab + bc + ca + {c^2})\]
\[ = {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b) + {c^3} + 3(a + b)c(a + b + c)\]
\[ = {(a + b)^3} + {c^3} + 3(a + b)c(a + b + c) = {(a + b + c)^3}\]
= Vế Trái (Điều phải chứng minh)
Cách số 3: Chứng minh hiệu VT – VP =0
Xét hiệu: \[{(a + b + c)^3} – {a^3} = (a + b + c – a)({(a + b + c)^2} – a(a + b + c) + {a^2})\]
Vì \[{(a + b + c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\] nên từ đó ta có:
\[{(a + b + c)^3} – {a^3} = (b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca + {a^2} – {a^2} – ab – ac)\]
\[ = (b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + 2bc) = {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(a + c)\]
Làm tương tự với các cặp còn lại ta dễ dàng có điều chứng minh
Cách số 4: Dùng tổng hoán vị
Nếu bạn đọc nhìn kĩ thì sẽ thấy dạng toán này có phần khá giống với dạng toán số 3 nhất. Nhưng điểm mới ở đây là sử dụng hoán vị làm cho bài toán trở nên gọn nhẹ hơn rất nhiều.
\[{(\sum a )^3} – {a^3} = {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(c + a)\]
\[ \Leftrightarrow (b + c)({(\sum a )^2} + a(\sum a ) + {a^2})\]
\[ = (b + c)({b^2} – bc + {c^2} + 3(a + b)(b + c))\]
Nếu bạn còn cách làm nào về bài toán chứng minh (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3.(a + b)(b + c)(c + a) thì hãy comment xuống TOPIC này nhé. Chúng tôi sẽ tặng bạn thẻ cào 10K nếu bài tập của bạn khác 4 cách làm trên nhé!
