Bài toán chứng minh 1^2+2^2+3^2+…+n^2 = n.(n+1).(2n+1)/6

Chứng minh \[{1^2} + {2^2} + … + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\]

Đây là một bài toán rất thường gặp trong chương trình toán học. Bài toán mang tầm tư duy cao. Hôm nay chúng ta sẽ được làm quen với một số cách giải khá hay nhé.

Cách 1

Đếm số bộ có thứ tự \[(x,y,z)\] được chọn ra từ \[\{ 1,2,…,n + 1\} \] thõa mãn:

\[z > max\{ x,y\} \]

Cách đếm thứ nhất: Nếu \[z = k + 1\], với \[1 \le k \le n\] thì có k cách chọn x và k cách chọn y . Suy ra số cách chọn là \[{1^2} + {2^2} + … + {n^2}\].

Cách đếm thứ hai:

Số các bộ thỏa mãn \[x = y < z\] là \[C_{n + 1}^2\]

Số các bộ thỏa mãn \[x < y < z\] là \[C_{n + 1}^3\]

Số các bộ thỏa mãn \[y < x < z\] là \[C_{n + 1}^3\]

Tổng số bộ thỏa mãn là \[C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Làm theo phương pháp của trung học cơ sở

\[{1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {n^2}\]

\[ = 1.(2 – 1) + 2.(3 – 1) + 3.(4 – 1) + … + n((n + 1) – 1)\]

\[ = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1)) – (1 + 2 + 3 + … + n)\]

\[ = \frac{{n(n + 1)(n + 2) – 0.1.2}}{3} – \frac{{n(n + 1)}}{2}\]

\[ = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\]

Bài toán tổng quát

Tính tổng: \[{1^k} + {2^k} + {3^k} + … + {n^k}\] ??

Cách giải:

Theo cách tính tổng: \[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^k} = \zeta ( – k) – \zeta ( – k,n + 1)\]

Với: \[\zeta ( – k) = \zeta \left( { – k} \right) = \mathop \sum \limits_{i = 1}^\infty {\left( {{i^{ – k}}} \right)^{ – 1}}\]

Và \[\zeta ( – k,n + 1) = \frac{{{d^{ – k}}}}{{d{{(n + 1)}^{ – k}}}}\zeta (n + 1) = \frac{{{d^{ – k}}}}{{d{{(n + 1)}^{ – k}}}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^\infty {\left( {{i^{n + 1}}} \right)^{ – 1}}\]

Chứng minh bằng phương pháp qui nạp:

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^3} = \frac{1}{4}{\mkern 1mu} {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^4} = \frac{1}{{30}}{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {3{\mkern 1mu} {n^2} + 3{\mkern 1mu} n – 1} \right)\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^5} = 1/12{\mkern 1mu} {n^2}\left( {2{\mkern 1mu} {n^2} + 2{\mkern 1mu} n – 1} \right){\left( {n + 1} \right)^2}\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^6} = 1/42{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {3{\mkern 1mu} {n^4} + 6{\mkern 1mu} {n^3} – 3{\mkern 1mu} n + 1} \right)\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^7} = 1/24{\mkern 1mu} {n^2}\left( {3{\mkern 1mu} {n^4} + 6{\mkern 1mu} {n^3} – {n^2} – 4{\mkern 1mu} n + 2} \right){\left( {n + 1} \right)^2}\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^8} = \frac{1}{{90}}{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {5{\mkern 1mu} {n^6} + 15{\mkern 1mu} {n^5} + 5{\mkern 1mu} {n^4} – 15{\mkern 1mu} {n^3} – {n^2} + 9{\mkern 1mu} n – 3} \right)\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^9} = 1/20{\mkern 1mu} {n^2}\left( {{n^2} + n – 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} {n^4} + 4{\mkern 1mu} {n^3} – {n^2} – 3{\mkern 1mu} n + 3} \right){\left( {n + 1} \right)^2}\]

\[\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {i^{10}} = \frac{1}{{66}}{\mkern 1mu} n\left( {n + 1} \right)\left( {2{\mkern 1mu} n + 1} \right)\left( {{n^2} + n – 1} \right)\left( {3{\mkern 1mu} {n^6} + 9{\mkern 1mu} {n^5} + 2{\mkern 1mu} {n^4} – 11{\mkern 1mu} {n^3} + 3{\mkern 1mu} {n^2} + 10{\mkern 1mu} n – 5} \right)\]

Vận dụng tính toán

Tính H = 1² +2² +3²+…+ 99² + 100²

H = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + … + 98.99 + 99 + 99.100 + 100

H = (1.2 + 2.3 + … + 99.100) + (1 + 2 + 3 + … + 100)

H = 99.100.101 : 3 + 101.100 : 2

H = 100.101.33 + 101.50

H = 101.50.(66 + 1)

H = 101.55.67.