Dãy số lớp 11 – Phân dạng BÀI TẬP và LÝ THUYẾT

Dãy số lớp 11 là một chuyên đề khá mới đối với các em học sinh. Bài viết này đề cập đến cho các em các nội dung như sau:

+ Lý thuyết dãy số lớp 11

+ Lý thuyết về giới hạn dãy số lớp 11

+  Bài tập dãy số

Tuy nhiên trước khi tìm hiểu các dạng bài tập này, chúng tôi muốn giới thiệu đến các em môt số tài liệu khá hay như sau:

Lý thuyết dãy số lớp 11

1. Định nghĩa

Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập số nguyên dương $\mathrm{\backslash [\{\{\backslash mathbb\{N\}\}^\{*\}\}\backslash ]}$  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

\[\begin{align}& u:{{N}^{*}}\to R \\& n\to u(n) \\\end{align}\]

Các dãy số thường được viết dưới dạng khai triển hoặc truy hồi. (Tùy theo mục đích và dạng bài tập)

Đối với dạng khai triển, dãy số được viết thành các khai triển \[{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{2}},{{u}_{3}},\text{ }\ldots .,{{u}_{n}},\ldots .,\] trong đó:

+ \[{{u}_{n}}\] được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát

+ \[{{u}_{1}}\] được gọi là số hạng đầu của dãy số

2. Cách cho một dãy số:

a) Dãy số được cho bởi một công thức tổng quát

Khi cho bởi một dạng tổng quát, dãy số được cho dưới dạng \[{{u}_{n}}=f(n)\], trong đó \[f(n)\] là một hàm số xác định trên $\mathrm{\backslash [\{\{\backslash mathbb\{N\}\}^\{*\}\}\backslash ]}$

=> Đây là cách cho dãy số thông dụng nhất bởi lẽ: khi biết giá trị của biến \[n\] (số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được \[{{u}_{n}}\] mà đề bài cần

b) Dãy số cho bởi phương pháp mô tả

Ở lớp 10 chúng ta đã được học chương mệnh đề. Ở lớp 11 mệnh đề được sử dụng để mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của một dãy số. Tuy nhiên, rất khó để tìm được \[{{u}_{n}}\] với \[n\] tùy ý. Cần phải có những suy luận để làm được dạng toán này.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (quy nạp)

Đề bài sẽ cho các thông tin như sau:

+ Cho số hạng thứ nhất hoặc một vài số hạng đầu

+ Với \[n~\ge \text{ }2\], cho một công thức tính \[{{u}_{n}}\] nếu biết \[{{u}_{n-1}}\] hoặc một vài số hạng đứng trước nó

Một số ví dụ khi dãy số được cho bằng phương pháp truy hồi:

\[\left\{ \begin{matrix}{{u}_{1}}=a \\{{u}_{n}}=f({{u}_{n-1}}),n\ge 2 \\\end{matrix} \right.\]

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

+ Dãy số \[{{U}_{n}}\] được gọi là dãy số tăng khi \[{{u}_{n+1}}~>\text{ }{{u}_{n}}\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]

+ Dãy số \[{{U}_{n}}\] được gọi là dãy số giảm khi \[{{u}_{n+1}}~<\text{ }{{u}_{n}}\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]

Từ đó ta thành lập được các phương pháp xét tính tăng giảm của dãy số \[({{U}_{n}})\] (tính đơn điệu):

Phương pháp 1: Xét hiệu \[H\text{ }=~{{u}_{n+1}}~-\text{ }{{u}_{n}}\]

* Nếu \[H\text{ }>\text{ }0~\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số tăng

* Nếu \[H\text{ }<\text{ }0\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số giảm

Phương pháp 2:

Nếu \[{{u}_{n}}~>\text{ }0\] với mọi thì lập tỉ số \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\]rồi so sánh với \[1\]

* Nếu \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số tăng

* Nếu \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<1\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số giảm

4. Dãy số bị chặn

Dãy số bị chặn trên, chặn dưới và bị chặn. Trong đó:

+ Dãy số \[{{U}_{n}}\] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \[M\] sao cho:

\[{{U}_{n}}~\le \text{ }M\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]

+ Dãy số \[{{U}_{n}}\] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \[m\] sao cho:

\[{{U}_{n}}~\ge \text{ }m\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]

+ Dãy số \[{{U}_{n}}\] được gọi là bị chặn nếu tồn tại \[2\] số \[m\] và \[M\] sao cho:

\[m~\le ~{{U}_{n}}~\le \text{ }M\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]

Giới hạn dãy số

1. Giới hạn hữu hạn

a) \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{lim}}\,{{u}_{n}}=0\]  khi và chỉ khi \[|{{u}_{n}}|\] nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

b) Tính chất: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{lim}}\,{{u}_{n}}=a\Leftrightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{lim}}\,({{u}_{n}}-a)=0\]

2. Giới hạn vô cùng

a) \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{lim}}\,{{u}_{n}}=+\infty \] khi và chỉ khi \[|{{u}_{n}}|\] có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

b) Tính chất: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{lim}}\,{{u}_{n}}=-\infty \Leftrightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{lim}}\,(-{{u}_{n}})=+\infty \]

3. Các loại giới hạn đặc biệt cần phải nhớ

+ \[\lim \frac{1}{n}=0\]

+ \[\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0\]

+ \[lim{{n}^{k}}=+\infty \]

k là số nguyên dương tùy ý

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

5. Định lí về mối quan hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cùng

6. Cấp số nhân lùi vô hạn và công thức

Bài tập trắc nghiệm và tự luận chuyên đề dãy số lớp 11