Tóm tắt tài liệu
Phương pháp qui nạp toán học là một trong những phương pháp mạnh nhất để chứng minh các bài toán khó, thường dùng trong thi HSG môn toán các cấp. Trong chương trình toán học lớp 11, các em lại được học phương pháp này một cách chi tiết nhất. Tuy nhiên lượng bài tập có lời giải cũng như được phân dạng rõ ràng là chưa nhiều. Đó là lý do chúng tôi tổng hợp 2 tài liệu với khá nhiều bài tập có giải cho các em rèn luyện để nắm vững hơn về phương pháp qui nạp. Chúc các em học tốt.
1. LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n\in {{N}^{*}}\] bằng phương pháp qui nạp toán học ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \[n=k\ge 1\] ( được gọi là giải thiết qui nạp)
- Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với \[n=k+1\], Sau đó thực hiện kết luận
Lưu ý: Trong trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \[n\ge p\] ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với \[n=p,\]
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \[n=p\ge 1\] (giải thiết qui nạp)
- Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với \[n=k+1\], sau đó kết luận.
2. DÙNG QUI NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC – BẤT ĐẲNG THỨC
Đây là dạng toán khá phổ biến. Các em hãy xem một số ví dụ sau để nắm được ý tưởng chứng minh bằng qui nạp. Không phải bài nào cũng có thể chứng minh bằng phương pháp này, do đó dấu hiệu nhận biết là cực kì quan trọng.
3. BÀI TOÁN CHIA HẾT
Để giải được bài toán chia hết bằng phương pháp qui nạp, trước tiên cần phải nắm được một số kiến thức sau:
- Các số chẵn thì chia hết cho 2.
- Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
- Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
- Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
- Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
- Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
- Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
- Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
- Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.
- Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4,6,8 .
4. PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC TRONG CÁC ĐỀ THI
Dưới đây là tổng hợp những bài tập đã được ra đề vào các kì thi hsg trước đây. Các em cùng tham khảo và thảo luận ở phía bên dưới nhé?
Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong khá nhiều bài toán sử dụng phương pháp qui nạp toán học. Mong rằng những tài liệu trên có thể giúp các em một phần trong hành trình chinh phục các bài toán qui nạp. Để đạt được kết quả cao nhất, các em có thể tải về và in tài liệu ra để đạt kết quả cao nhất.
