Các phương pháp tính tích phân và bài tập ứng dụng

Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, ngoài ra nó còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học…Chính vì lẽ đó,tích phân được đưa vào đề thi THPTQG và là một trong những câu hỏi vận dụng cao,đòi hỏi rất nhiều kĩ năng Toán học của thí sinh.Thấu hiểu cho các sĩ tử chúng tôi đã tổng hợp nên tài liệu các phương pháp tính tích phân với sự đa dạng về đề bài,cũng như cách giải,bên cạnh đó còn đưa ra nhiều cách giải nhanh để rút ngắn thời gian làm câu hỏi về tích phân trong đề thi Toán THPTQG

TẢI XUỐNG ↓

Nguyên hàm

Định nghĩa nguyên hàm

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi
x∈(a;b) : F’(x) = f(x)

Định lý

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết
dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số.
Theo định lý trên, để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C. Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và được ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất định).
Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C

Các tính chất của nguyên hàm

(Chi tiết trong tài liệu)

Bảng công thức nguyên hàm

(Chi tiết trong tài liệu)

Tích phân và các phương pháp tính tích phân

Định nghĩa tích phân xác định.

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ của K, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x).

Các tính chất của tích phân.

(Xem chi tiết trong tài liệu)

Tích phân bằng phương pháp phân tích.

Nhận xét: Ví dụ 4 trên gồm những bài tập tính tích phân đơn giản mà học sinh có thể áp dụng ngay bảng công thức nguyên hàm để giải được bài toán hoặc với những phép biến đổi đơn giản như nhân phân phối, chia đa thức, đồng nhất hai đa thức, biến đổi tích thành tổng…Qua ví dụ 4 này nhằm giúp các em thuộc công thức và nắm vững phép tính tích phân cơ bản….

Tích phân bằng phương pháp biến đổi biến số.

Phương pháp đổi biến số loại 1:

Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫f(x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x) cận a và b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân.

Định lý: Nếu

1. Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục, đơn điệu trên đoạn [α;β].
2. Hàm số hợp f [u(t)] được xác định trên đoạn [α;β].

Phương pháp đổi biến số loại 2:

Tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.

a) Các phương pháp tính tích phân từng phần:
b) Một số dạng thường dùng phương pháp tích phân từng phần:

Bài tập đề nghị các phương pháp tính tích phân

Với 40 trang,tài liệu các phương pháp tính tích phân đã phần nào giúp các bạn nắm rõ lý thuyết về tích phân,cũng như những phần tích hợp các bài tập đề nghị,các câu hỏi về tích phân trong các đề thi đại học những năm trước tạo cơ hội cho các bạn vận dụng được những lý thuyết.Tích phân là một phần khá khó trong Toán học 12,vì thế để học cần phải chăm học và tìm tòi nhiều thứ về nó.Chúc các bạn học tốt!