Lý thuyết tích vô hướng của hai vecto

Tích vô hướng của hai vecto là một chủ đề khá quan trọng trong chương trình lớp 10. Để nắm rõ thế nào là tích vô hướng của hai vecto, các em chỉ cần ghi nhớ những kiến  thức sau đây: Giá trị lượng giác  bất kì, khái niệm tích vô hướng của hai vecto, và cách  ứng dụng tích vô hướng của hai vecto  vào tất cả các dạng bài tập.

Hãy cùng đọc và nghiên cứu nhé ^ ^

I - Giá trị lượng giác của góc bất kì:

1. Định nghĩa

Với mỗi góc \alpha ({{0}^{0}}\le \alpha \le {{180}^{0}}) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc \widehat{xOM}=\alpha  và giả sử điểm M có tọa độ M({{x}_{0}};{{y}_{0}}).

Khi đó ta có định nghĩa:

Sin của góc \alpha  là {{y}_{0}}, kí hiệu là \sin \alpha ={{y}_{0}}.

cosin của góc \alpha  là {{x}_{0}}, kí hiệu là cos\alpha ={{x}_{0}}.

tang của góc \alpha  là ({{x}_{0}}\ne 0), ký hiệu tan\alpha =\frac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}.

cotang cuả góc \alpha  là ({{y}_{0}}\ne 0), ký hiệu cot\alpha =\frac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}}.

Các số \sin \alpha ,cos\alpha ,tan\alpha ,cot\alpha  được gọi là các giá trị lượng giác của góc \alpha

2.Tính chất

Sự liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc bù nhau

sin\alpha =sin({{180}^{0}}\alpha )

cos\alpha =-cos(({{180}^{0}}\alpha )

tan\alpha =tan({{180}^{0}}\alpha )

cot\alpha =-cot({{180}^{0}}\alpha )

Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn cos, tan, cot thì đối nhau

3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: (SGK) Xem ở chương tích vô hướng  của hai vecto

4. Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa : Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và {\vec{b}}  đều khác vectơ 0. Từ một điểm 0 bât kỳ ta vẽ \overrightarrow{a} và {\vec{b}} đều khác vec tơ 0. Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a} và \overrightarrow{OB}=\vec{b}.

góc \widehat{AOB} với số đo từ {{0}^{0}} đến {{180}^{0}} độ được gọi là  góc giữa hai vectơ  {\vec{a}} và {\vec{b}}.

Người ta ký hiệu góc giữa hai vectơ {\vec{a}} và {\vec{b}}  là \left( \vec{a};\vec{b} \right) Nếu

(\vec{a};\vec{b})={{90}^{0}} thì ta nói rằng {\vec{a}} và {\vec{b}} vuông góc với nhau. Ký hiệu là  \vec{a}\bot \vec{b} hoặc  \vec{b}\bot \vec{a}.

II- Lý thuyết tích vô hướng của hai vecto:

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ {\vec{a}} và {\vec{b}}  khác vectơ {\vec{0}}. Tích vô hướng của {\vec{a}} và {\vec{b}} là một số được ký hiệu là \vec{a}.\vec{b}, được xác định bởi công thức sau :

\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|cos(\vec{a},\vec{b})

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ \vec{a},\vec{b},\vec{c} bất kì và mọi số k ta có :

\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a} (tính chất giao hoán)

\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c} ( tính chất phân phối)

(k.\vec{a}).\vec{b}=k.(\vec{a}.\vec{b})=\vec{a}.(k.\vec{b})

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (0;\vec{i};\vec{j}), cho hai vec tơ \vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}}), \vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}}). Khi đó tích vô hướng {\vec{a}} và {\vec{b}} là:

\vec{a}.\vec{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}

 Nhận xét: Hai vectơ \vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}}), \vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}}) khác vectơ{\vec{0}} vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ  \vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}}) được tính theo công thức:

\vec{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu \vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}}), \vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}}) khác vectơ {\vec{0}} thì ta có:

\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\overrightarrow{a|.|\vec{b}}|}=\frac{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}.{{b}_{2}}}{\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}.\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}}

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểmA({{x}_{A}};{{y}_{A}}),B({{x}_{B}};{{y}_{B}}) được tính theo công thức :

AB=\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}}

III - Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác:

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A(\hat{A}={{90}^{0}}), ta có:

1. {{b}^{2}}=ab\prime ;{{c}^{2}}=a.c\prime .

2. Định lý Pitago : {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}.

3. a.h=b.c.

4. {{h}^{2}}=b\prime .c\prime .

5. \frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}.

ứng dụng tích vô hướng của hai vecto

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.cosA(1)

{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2accosB(2)

{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2bccosC(3)

\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}

\cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}

\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a,CA=b và AB=c. Gọi {{m}_{a}},{{m}_{b}}{{m}_{c}} là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C của tam giác. Ta có

{{m}_{a}}^{2}=\frac{2.({{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{a}^{2}}}{4}

{{m}_{b}}^{2}=\frac{2.({{a}^{2}}+{{c}^{2}})-{{b}^{2}}}{4}

{{m}_{c}}^{2}=\frac{2.({{a}^{2}}+{{b}^{2}})-{{c}^{2}}}{4}

Định lý cô sin

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu ha, hb và hlà các đường cao của tam giácABC lần lượt vẽ từ các đình A,B,C và S là diện tích tam giác đó.

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau

S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B                          (1)

S=\frac{abc}{4R}                                                                           (2)

S=pr                                                                                  (3)

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (công thức  Hê - rông) (4)

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}

\cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}

cosC=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}

Chú ý: 

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc

IV. **BÀI TẬP VẬN DỤNG**

A

B

C

D

E

LỜI KẾT

Trên đây là toàn bộ các nội dung về chủ đề tích vô hướng của hai vecto. Mong rằng sẽ giúp các em chinh phục một phần nào chuyên đề này.

Để xem thêm nhiều tài liệu hay hơn nữa về chuyên đề vecto, các em chọn các mục ở cuối bài viết này để xem chi tiết hơn.

Lý thuyết tích vô hướng của hai vecto
5 (100%) 2 votes

Gửi một bình luận