Bài toán tính tổng S = 1^3+2^3+3^3+…+n^3

Bài toán được viết dưới dạng đề khác là chứng minh: \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ..{n^3} = {(1 + 2 + 3 + … + n)^2}\]

Cách số 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp

Với \[n = 1;{\rm{ }}n = 2\] thì đẳng thức hẳn nhiên đúng.

Giả sử đẳng thức đúng khi \[n = k\], khi đó ta có giả thiết:

\[{1^3} + {2^3} + {3^3} + …{k^3} = {(1 + 2 + 3 + 4.. + k)^2}\]

Ta sẽ chứng minh công thức đó đúng với: \[n = k + 1\], tức phải chứng minh:

\[{1^3} + {2^3} + {3^3} + …{k^3} + {(k + 1)^3} = {(1 + 2 + 3 + 4.. + k + k + 1)^2}\]

Ta có công thức tính tổng như sau: \[1 + 2 + 3 + 4 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\]

\[ \Rightarrow {(1 + 2 + 3 + 4 + … + n)^2} = \frac{{{{({n^2} + n)}^2}}}{4}\]

Viết lại đẳng thức của đề bài cần chứng minh:

\[\frac{{{{({k^2} + k)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{({k^2} + 3k + 2)}^2}}}{4}\]

\[ \Leftrightarrow {({k^2} + 3k + 2)^2} – {({k^2} + k)^2} = 4{(k + 1)^3}\]

\[ \Leftrightarrow 4{k^3} + 12{k^2} + 12k + 4 = 4{(k + 1)^3}\]

\[ \Leftrightarrow 4{(k + 1)^3} = 4{(k + 1)^3}\]

Để chứng minh các bước trên, đơn giản là các bạn cứ nhân vào sau đó rút gọn đi là oke hết à.

Theo nguyên  lý quy nạp thì ta có điều phải chứng minh.

Cách số 2: Phương pháp giải theo hàm số

Giả sử: \[{1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {n^3} = f(n) = a{n^4} + b{n^3} + c{n^2} + dn\]

Ta có:

\[f\left( 1 \right) = 1 = a + b + c + d\]

\[f\left( 2 \right) = 9 = 16a + 8b + 4c + 2d\]

\[f\left( 3 \right) = 36 = 81a + 27b + 9c + 3d\]

\[f\left( 4 \right) = 100 = 256a + 64b + 16c + 4d\]

Giải hệ phương trình trên ta được các hệ số a, b, c, d duy nhất. Thay vào fn thì ta được đa thức f(n) ở phía trên.

Cách số 3:

Ta có: \[{x^3} = {[\frac{{x(x + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{x(x – 1)}}{2}]^2}\]

Suy ra:

\[{1^3} = {[\frac{{1(1 + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{1(1 – 1)}}{2}]^2}\]

\[{2^3} = {[\frac{{2(2 + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{2(2 – 1)}}{2}]^2}\]

…

\[{n^3} = {[\frac{{n(n + 1)}}{2}]^2} – {[\frac{{n(n – 1)}}{2}]^2}\]

Cộng theo vế ta được: \[{1^3} + {2^3} + … + {n^3} = {[\frac{{n(n + 1)}}{2}]^2}\] (điều phải chứng minh)

15 hằng đẳng thức phức tạp trong các đề thi HSG toán THCS

1. \[{(a + b + c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac\]

2. \[{(a + b – c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab – 2bc – 2ac\]

3. \[{(a – b – c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} – 2ab – 2ac + 2bc\]

4. \[{a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} – 3ab(a + b)\]

5. \[{a^3} – {b^3} = {(a – b)^3} + 3ab(a – b)\]

6. \[{(a + b + c)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(c + a)\]

7. \[{a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ac)\]

8. \[{(a – b)^3} + {(b – c)^3} + {(c – a)^3} = 3(a – b)(b – c)(c – a)\]

9. \[(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a{(b – c)^2} + b{(c – a)^2} + c{(a – b)^2}\]

10. \[\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) – abc\]

11. \[a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} – {a^2}b – {b^2}c – {c^2}a = \frac{{{{(a – b)}^3} + {{(b – c)}^3} + {{(c – a)}^3}}}{3}\]

12. \[a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} – {a^3}b – {b^3}c – {c^3}a = \frac{{(a + b + c)[{{(a – b)}^3} + {{(b – c)}^3} + {{(c – a)}^3}]}}{3}\]

13. \[{a^n} – {b^n} = (a – b)({a^{n – 1}} + {a^{n – 2}}b + {a^{n – 3}}{b^2} + … + {a^2}{b^{n – 3}} + a{b^{n – 2}} + {b^{n – 1}})\]

14. Với n là số lẻ ta có:

\[{a^n} + {b^n} = (a + b)({a^{n – 1}} – {a^{n – 2}}b + {a^{n – 3}}{b^2} – … + {a^2}{b^{n – 3}} – a{b^{n – 2}} + {b^{n – 1}})\]

15. Nhị  thức newton:

\[{(a + b)^n} = {a^n} + \frac{{n!}}{{(n – 1)!1!}}{a^{n – 1}}b + \frac{{n!}}{{(n – 2)!2!}}{a^{n – 2}}{b^2} + … + \frac{{n!}}{{(n – k)!k!}}{a^{n – k}}{b^k} + … + \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}}{a^2}{b^{n – 2}} + \frac{{n)!}}{{1!(n – 1)!}}a{b^{n – 1}} + {b^n}\]