12 phương pháp chứng minh bất đẳng thức (lớp 10)

Chứng minh bất đẳng thức không bao giờ là một kiến thức dễ. Bất đẳng thức được các nhà toán học đánh giá là chuyên đề rộng nhất, và dễ khai thác nhất trong các đề thi học sinh giỏi cũng như trong các câu khống chế điểm.

Ở bài viết này chúng tôi sẽ giới thiệu với các em các ý chính sau: Định nghĩa bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức,bài tập chứng minh bất đẳng thức (áp dụng).

Hãy đọc và nghiên cứu thật kĩ nhé ^ ^

I- Định nghĩa bất đẳng thức

1. Định nghĩa

Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng A>B, A<B, trong đó A,B là các biểu thức chứa các số và các phép toán.

Biểu thức A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề: " là mệnh đề đúng thì ta bảo bất đẳng thức C<D là hệ quả của bất đẳng thức A<B.

Nếu " và " là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức A<B và C<D tương đương, kí hiệu là A<B\Leftrightarrow C<D.

2. Các tính chất của bất đẳng thức.

TC1: ( Tính chất bắc cầu)

\left\{ \begin{matrix}A<B \\B<C \\\end{matrix} \right.\Rightarrow A<C

TC2: (Quy tắc cộng)

A<B\Leftrightarrow A+C<B+C

TC3: (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều)

\left\{ \begin{matrix}A<B \\C<D \\\end{matrix} \right.\Rightarrow A+C<B+D

TC4: (Quy tắc nhân)

\left\{ \begin{matrix}A<B \\C>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow AC<BC

\left\{ \begin{matrix}A<B \\C<0 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow AC>BC

TC5: (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức)

\left\{ \begin{matrix}0<A<B \\0<C<D \\\end{matrix} \right.\Rightarrow AC<BD

TC6: (Quy tắc lũy thừa, khai căn)

Với A,B>0,n\in N* ta có:

A<B\Leftrightarrow {{A}^{n}}<{{B}^{n}}.

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Côsi)

chứng minh bất đẳng thức bằng AM-GM

Ta gọi \frac{a+b}{2} là trung bình cộng của hai số a,b.

Tổng quát trung bình cộng của n số {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} là

\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{n}

Trung bình nhân của hai số không âm a\ge 0,b\ge 0 là \sqrt{ab}

Trung bình nhân của n số không âm {{a}_{1}}\ge 0,{{a}_{2}}\ge 0,...,{{a}_{n}}\ge 0 là

\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}

Định lí: Ta có bất đẳng thức dưới đây, mang tên bất đẳng Cô si:

\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}    \forall a,b\ge 0.

Dấu "=" chỉ xảy ra khi a=b.

Người ta cũng có:

\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3},\forall a,b,c\ge 0.

\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\le \frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{n}\forall {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}\ge 0

Hệ quả 1: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có các bất đẳng thức sau:

|a+b|\le |a|+|b|  \forall a,b\in \mathbb{R}

Dấu "=" chỉ xảy ra khi ab>0

|x|\le a\Leftrightarrow -a\le x\le a    \forall a>0

|x|\ge a\Leftrightarrow [x\ge ax\le -a  \forall a>0.

II- 12 phương pháp chứng minh bất đẳng thức

CLICK VÀO ĐỂ TẢI TÀI LIỆU

Chứng minh bất đẳng thức bất kì quả thật rất khó, tuy nhiên nếu phân loại kĩ càng và luyện tập một cách có khoa học, có logic các em hoàn toàn có thể chinh phục dạng toán này ở các đề thi. Tài liệu trên phân loại cách chứng mình bất đẳng thức thành các mảng sau:

  • Dùng AM-GM để chứng mình bất đẳng thức
  • Bất đẳng thức MINKOWSKI và ứng dụng
  • Bất đẳng thức HOLDER VÀ ỨNG DỤNG
  • Bất đẳng thức Cauchy-schwarz
  • Bất đẳng thức CHEBYSHEV
  • Bất đẳng thức MUIRHEAD

Để tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức, các em có thể tham khảo các dạng bài tập được đề cập ở phần BÀI TẬP VẬN DỤNG sau đây.

III. **BÀI TẬP VẬN DỤNG**

A

B

C

D

E

LỜI KẾT

Trên đây là toàn bộ các nội dung về chủ đề chứng minh bất đẳng thức. Mong rằng sẽ giúp các em chinh phục một phần nào chuyên đề này.

Để xem thêm nhiều tài liệu hay hơn nữa về chuyên đề bất đẳng thức, các em chọn các mục ở cuối bài viết này để xem chi tiết hơn.

12 phương pháp chứng minh bất đẳng thức (lớp 10)
5 (100%) 4 votes

Gửi một bình luận